让学生主动地探索数学.doc

让学生主动地探索数学.doc让学生主动地探索数学
学习数学较理想的状态是能够从有限的例题岀发举一反三，同时让 学生体验自行编题的乐趣，培养学生的创新意识和学习能力，真正达到“授 人以渔”的目的•这里笔者以在上课时讲授的一道例题为例，谈谈如何让 学生尝试发现问题和解决问题.
在选修2-1第2章的复习课上，我举了如下例题：
例1：已知过抛物线y・=2px (p>0)焦点F的直线1交抛物线于M, N 两点，B (-■, 0),求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.
解：设直线的方程为x=my+B, M (x・，y・)，N (x・，y・)
贝U kH+kH = ■ +■ = ■ + ■
=■
联立方程组x=my+HyH=2px
则 y・-2pmy-p・=0
2my■ y■ +p (y・+y・)=2m (-pH ) +pHpm=0
.*.kB+kB=0,即直线BM与直线BN的斜率互为相反数.
一般情况下，到此一些数学教师认为已完成了学习任务，失去了继续 探索的机会.
此题一出，接下去便是见证学生数学学习能力与创新能力的时候了.
让学生思考：你可以编岀怎样的题目？此时有同学提岀如下问题，这
里我们记为推广1.
推广1：已知过抛物线y・=2px (p>0)焦点F的直线交抛物线于M, N 两点，是否在平面上能找一定点B,使直线BM与直线BN的斜率互为相反 数•若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.
解：如果存在，根据对称性，该点一定在对称轴(即轴)上，设B (a, 0)
设直线的方程为x=my+B, M (x・，y・)，N (x・，y・)
贝U + +
2my Hy■+ ( H-a) (y・+y・)=0
联立方程组x=my+HyH=2px
则 y・-2pmy-p・=0
.•.-2mpB+2pm (■-a) =0,对任何实数m恒成立；即a=-B,
即存在一定点B (-■, 0),使直线BM与直线BN的斜率互为相反数恒 成立.
完成此题的解答后，思维开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为 下列命题：
推广2：已知抛物线y・=2px (p>0),点M为抛物线的对称轴与其准 线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线1・，1■与抛物线分别相交于 A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定 点.
解答可得直线AD必定经过此抛物线的焦点.
到此有的同学已经非常满意这样的结论与推广，但有同学立刻提岀这 样的想法，上述过焦点的直线是否可以改成过对称轴上定点A (a, 0),
(a>0),上述的性质是否也存在？经过思考的确具有同样的结论.
推广3：已知抛物线y・=2px (p>0),过点A (a, 0), (a>0)直线1 交抛物线于M, N两点，点B为点A关于原点对称的点，求证：直线BM与 直线BN的斜率互为相反数.
推广4：已知过抛物线y・=2px (p>0),过点A (a, 0), (a>0)直线 1交抛物线于M, N两点，是否在x轴上能找一点B,使直线BM与直线BN 的斜率互为相反数•若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.
此题可求得B (-a, 0).
推广5：已知抛物线y・=-2px (p>0),点m (-a, 0), (a>0),过点M 作斜率互为相反数两直线1・，1■与抛物线分别相交