求函数周期的方法.doc

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定义法
周期函数的定义:
求函数周期的方法
设函数f(X)定义在数集 D上，若存在常数T>0, - X，D,且
f(x+T)=f(x),贝U f x为周期函数，称其中最小的正常数 T为最小正周期。
例1 :求函数y=| sinx | + | cosx |的最小正周期 .
例2：求函数y =s in 2x的最小正周期
根 据定义 WT >0 ,因为 sin2(x+T)—sin2(x) = 0 , 即
2si n 2x +丁 cosT2cos 2x+T 口［=0 ,亦即 si n 2+ T) s(i T)= ,由 此可得
2 2 2 2
sin 2x T = 0 或者 sinT =0
由于sin 2x T =0的通解为T =K二-2x，显然它是依赖于 x,因此求不出依赖 于x的非零常数解，即这样的 T不能作为周期。
由sinT = 0 ,得最小的非零正数解为 T =兀，即它不依赖于x，所以y = sin2x是 周期函数，且其周期为 T二二.
性质结论：
(1) 若T是y = f (x), x € a的周期，则 j也是y = f (x)的周期.
(2) 若T是y = f(x),x € A的周期，且x + nT乏A(n乏Z)，则nT也是y = f (x)
的周期.
(3) 设f(x)有最小正周期T ,那么除_n T(n =1,2,3|川|1)外,函数f (X)无其
他周期。
(4) 若f(X )是周期函数，则|f(X；［也是周期函数，反之不正确。
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(5) 若f X是定义在上的周期函数，且fx=O,则'也 f(X)
是周期函数，且与f X相同的周期。
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(6) 若f(X )是定义在(，母)上的周期函数，且f(X )式0 ,则 也
f(X)
是周期函数，且与f X相同的周期。
(7) 可导的周期函数的导函数也是周期函数。 又若对于原函数存在的连
T
续的周期函数f(x)(T是其最小正周期)有，° f(x)dX=O，贝U其原函数
也是周期函数，且它们的周期相同。
例：f(x)二 si n x，因为(si n2x)'si n2x,而 si n2x 的周期 T=：。
(8) 设」x是以T为周期的周期函数，f(x)是任意函数，则复合函数 f x 必也是以T为周期的周期函数，此时 f f辽X 的最小正周期不一定