四点共圆基本性质及证明.doc

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四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆〞。四点共圆有三个性质：
共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
〔2〕圆内接四边形的对角互补；
圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进展证明。
定理
判定定理
方法1： 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，假设能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
〔可以说成：假设线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆〕
方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，假设能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
〔可以说成：假设平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆〕
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托勒密定理
假设ABCD四点共圆〔ABCD按顺序都在同一个圆上〕，那么ABDC+BCAD=ACBD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比方说边长为3，4，5的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。假设直径为r〔整数〕。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC〔边长a<b<c〕。把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。〔考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是P