等比数列求和.ppt

《数列》王光宁《数列》王光宁 1、等比数列的定义 2、等比数列的通项公式☆:已知三个量,可以求出第四个量。(说“三”道“四”) qa a n n??111 ?? n nqaa 一、复习《数列》王光宁《数列》王光宁《数列》王光宁问题:如何来求麦子的总量? 得: 2S64= 2+22+23+ ······ +263+264 错位相减得: S64= 264 – 1 > × 1019 即求: 1,2, 22 , ······ , 263 的和; 令: S64=1+2+22+ ······ +262+263 , 以小麦千粒重为 40 麦子质量超过 7000 亿吨! g麦粒总质量达 7000 亿吨——国王是拿不出的。《数列》王光宁等比数列的求和公式一般地,设有等比数列: a1 , a2 , a3 , ···, an ··· S n= a1+ a2 + a3 + ··· + an 即: S n= a1+ a1q + a1q2 + ······ + a1qn-2 + a1qn-1 qSn= a1q + a1q2 + a1q3 + ······ + a1qn-1+a1qn 错位相减得: ( 1-q ) Sn=a1-a1qn ??????????)1(1 )1( )1( 1 1qq qa q na S n n 《数列》王光宁在 a1 、q、n、 Sn 、 an 中知“三”求“二”等比数列的求和公式(q≠ 1)?? q qaq qa aS n n n??????1 11 1 1 《数列》王光宁项的和。的前、求等比数列例8,8 1,4 1,2 1 1??? q qaq qa aS n n n??????1 11 1 1 256 255 256 112 11 )2 1(12 1 8???????????? nS 《数列》王光宁例2、某制糖厂第 1年制糖 5万吨,如果平均每年的产量比上一年增加 10% ,那么第1年起,约几年内可使总产量达到 30 万吨(保留到个位)? 解:根据题意,每年的产量比上一年增加的百分率相同,所以从第1年起,每年的产量组成一个等比数列{ an }。其中: a1=5 , q=1+10%= , Sn=30 ; 5(1- n) 1- =30 ; = n· = ∴n= ≈≈5(年) 答:约 5年内可以使总产量达到 30 万吨。于是得到: 整理得: 两边取对数: 《数列》王光宁例3、在 3和 2187 之间插入若干个正数,使它们组成等比数列,且插入的这些正数的和为 1089 。求:插入的这些正数各是什么? 解:设等比数列的公比为 q, 则,这些数为: 3, 3q , 3q2 , ···, 3qn , 2187 3q(1-q n) 1-q =1089 ∴又∵ 3qn+1=2187 3q-2187 1-q =1089 ∴∴ q = 3 ∴插入的正数为 9, 27 , 81 , 243 , 729 。∵这些正数的和为 1089 。3q-3q n+1 1-q =1089 即