离散傅里叶变换.ppt

第章离散傅里叶变换
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离散傅里叶变换(DFT)
DFT定义
DFT推导
DFT性质
DFT的矩阵计算
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离散傅里叶变换的定义
1. 定义
设x(n)是一个长度为N的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为
X(k)的离散傅里叶逆变换为
()
式中， ，N称为DFT变换区间长度，通常称()式和()式为离散傅里叶变换对。
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证明IDFT［X(k)］的唯一性。
证明：把()式代入()式有
为整数
为整数
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1
由此可见，()式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。
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例 x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。
解：设变换区间N=8， 则
设变换区间N=16， 则
n
16
16
16
15
n
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2. DFT的隐含周期性
前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性， 使()式和()式中的X(k)隐含了周期性，且周期为N。对任意整数m， 总有
均为整数
所以()式中， X(k)满足
同理可证明()式中
x(n+mN)=x(n)
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实际上，任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即
为了叙述方便， 将()式用如下形式表示：
()
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图 有限长序列及其周期延拓
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DFT推导
1. 由Z变换推导
由Z变换可知，非周期序列x(n)的Z变换为
对于有限长序列x(n)(n=0,…,N-1)，X(z)的收敛区域总包括单位圆。若在单位圆的N个均分点上计算Z变换，得周期序列为
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上式两边乘以 ，再对k从0~N-1求和，得
这说明，长度小于或等于N的有限时宽序列可以用它的Z变换在单位圆上的N个取样精确地表示，或有限时宽序列的DFT相当于其Z变换在单位圆等间隔点上的取样。
Z平面
I
R
2π/N
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