奥数：方阵问题.doc

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教学容:第十一讲方阵问题
在日常生活中,我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比方用花盆摆成正方形,同学们要参加运动会入场式,要进展队列操练,解放军排着整齐的方队承受检阅等,无论是训练或承受检阅,都要按一定的规那么排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,假设行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它中实方阵;如果这个方阵是空心的,我们叫它中空方阵。
观察中实方阵,我们不难发现方阵的根本特点:
①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。
②去掉横竖各一排时,有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列。
③如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。
④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系
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四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
观察中空方阵,我们不难发现方阵的根本特点:
中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4
下面我们就利用以上特点进
例1 参加军训的学生进展队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生?
分析与解答:如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:
(1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数。
(2)去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示。
因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1。
此题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13(人)
或去掉的人数=(7-1)×2+1=13(人)
还剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人)
或还剩的人数=7×7-13=49-13=36(人)
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答:如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。
例2 小刚用假设干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少?
分析与解答:如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=36枚棋子。
最外一层每边有6枚,如果用6×4=24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果。列式是6×4-4=20枚。
说明:这道题还可以这样想:数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试。
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