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牛顿定律的初值敏感性
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*牛顿定律的初值敏感性 混沌（chaos）
对牛顿定律确定性的绝对化理解，
1961年美国气象学家洛仑兹在研究大气对流对气候的影响时，用牛顿力学建立了一组非线性微分方程：
（ ,  , b为参数）
在上世纪
六十年代受到了挑战。
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：
结论：长期的天气预报是不可能准确的。
初值敏感性
t
气候对初始值的敏感性现象称为“蝴蝶效应”。
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运动对初始值的依赖性可以分为两类。
第一类是运动情况一般地依赖初值：
如单摆的自由小摆动（线性微分方程）。
第二类是运动情况敏感地依赖初值：
如气候的变化问题（非线性微分方程）。
一般来说，服从非线性规律的非线性系统，
对初始值表现出敏感性。
介绍一个典型的非线性迭代方程的例子：
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0   4 ， 0  x  1。
若  = 4，对三个初值有：
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混沌是在决定性动力学系统中出现的一种
貌似随机的运动。
对初值敏感引起的随机性，称为内在随机性，
在上面典型的非线性迭代方程中，还发现有“倍周期分叉”现象：
▲ 当 1   3时, 迭代的归宿是一个确定的数 。
例如：=， xn+1=xn=7/12(n)，周期为1。
▲ 当 ≥3时, 迭代出现多个确定的数值 。
而结果的飘忽不定，称为混沌现象。
（ = 3 时，
曲线开始分叉）
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例如： = 时，一个值对应的有两个 值，
xn+2 = xn , → ， 周期为2。
 = 时，与一个 值对应的有4个 值，
xn+4=xn , →
↑ ↓ 周期为4。
←
即其归宿轮流取两个值：
即其归宿轮流取四个值：
即出现混沌现象，周期为。
▲ 当 ≤≤4 时，最后归宿可取无穷多值，
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通过倍周期分叉走向混沌的道路，这是目前已知的一种典型方式，
演示 混沌摆 (KL036)
如下图所示：
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计算出M3的轨道如下图：
对天体运动的力学，
三体和三体以上的问
题只有数值解。
如果两个质量相等的大天体
M1、M2，
和一个质量小的天体M3组成系统。
在一定的初始条件下，
小天体长期轨道对初值敏感，不可预测。
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这种轨道不可长期预测的现象，
从而变成二体问题了。
就是小行星混沌运动的一种表现。
称为天体运动
中的混沌现象。
对太阳系中的行星，
并未观察到这种无序性，
这是因为各行星都可看作是单独在太阳引力作用
下运动，
火星和土星之间有许多小行星。
它们的轨道就
有混沌现象，
有的会进入地球大气层，成为流星。
1992  1994 年，SL  9慧星撞上木星，
很可能
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