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函数单调性证明和计算
函数单调性
张斌老师
单调性在函数中的地位
函数的三性一般所指：
（1）单调性
（2）奇偶性
（3）周期性
其中，单调性排在首位，是函数的基本性质，是每个初等函数要研究的性质. 其他性质则不然，如奇偶性，周期性等，不是每个初等函数都具有的性质. 由此看到，单调性在函数中的重要地位.
知识点一—考点分析
函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画以及用严格的推理论证并完成规范的书面表达是学习的难点之一．另一难点是如何利用单调性解决含参的一些简单的数学问题．
知识点
对于“函数的函数的单调性”问题，高考中主要有四个考点:
考点一是“函数单调性的判断与证明”，
考点二是“求函数的单调区间”，
考点三是“利用函数的单调性求参数的取值范围”，
考点四是“利用函数的单调性求最值”。
二、知识点归纳

①如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数（或单调递增函数）
②如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数（或单调递减函数）
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
对于给定区间上的函数f(x):
二、知识点归纳
，是个局部概念.
：
①取量定大小；②作差定符号；③判断定结论.
：
①通常用图象直接写出；②利用单调性证明后得出；③求导法，根据导数的正增负减.
设 x 1、x 2 ∈给定区间， 且 x 1＜ x 2
f(x 1)－f(x 2)的结果化积或化完全平方式的和；
判断f(x 1) 与 f(x 2) 的大小 ，下结论，结论一定要指出在那个区间上。
针对 x 而言的
二、知识点归纳
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．
例1 证明：函数 在 ( 0 , + ∞ )上是增函数.
证明：设 0 ＜ x 1 ＜ x 2 ＜ + ∞
则 f ( x 1 ) －f ( x 2)
∵ 0 ＜ x 1 ＜ x 2 ＜ + ∞
∴ x 1 －x 2 ＜ 0
即 f ( x 1 ) －f ( x 2 ) ＜ 0
∴ f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )
故 此函数在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数.
三、题型讲解