复合函数及抽象函数的单调性.ppt

复合函数及抽象函数的单调性
复合函数的单调性
复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
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复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
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复合函数的单调性
若u=g(x)
y=f(u)
则y=f[g(x)]
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
减函数
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解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3
当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小
当0<x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大
∴函数的单调区间是 [-1/3，0]，[0，1/3]。
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例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，
g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．
【解题思路】
x∈某区间A t∈某区间B
①在A上的增减性
②在B上的增减性
g ( x )在A上的
单调性
关键是A的端点如何确定？

【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数
t=－x2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②
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【解】设t =－x2 + 2 ①
y =－t 2 +2t + 8 ②
函数②的增、减转折点是 t = 1，把 t = 1 代入①，得 x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是 x3 = 0，
于是三个关节点把数轴分成四个区间：
，
，
，
(1)x∈(-∞,-1] 时,函数①递增,且t≤1,而t ∈ (-∞, 1]
时,函数②也递增，故(-∞,-1] 是所求的一个单调增区间；
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(2)x∈ (-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2] ，
而 t∈(1,2] 时，函数②递减，
故(-1,0] 是g ( x )的单调减区间；
(3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2] ，
而 t∈(1,2],函数②也递减，
故(0,1]是g ( x )的单调增区间；
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（4）x∈(1，+∞)时，
函数①递减，且t∈(－∞，1)
而t∈(－∞，1) 时，函数②递增，
故(1，+∞)是g ( x )的单调减区间．
综上知，所求g ( x )的增区间是
和
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例2：设f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。
问：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-∞，0)上是增函数，问在 区间(0，+∞）上f(x)是 增函数还是减函数？
(0<a<3)
例1：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是