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高等数学教案第五章定积分 1 第五章定积分教学目的: 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点: 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。教学难点: 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。§5?1 定积分概念与性质一、定积分问题举例 1?曲边梯形的面积曲边梯形?设函数 y?f(x) 在区间[a?b] 上非负、连续?由直线 x?a、x?b、y?0 及曲线 y?f(x) 所围成的图形称为曲边梯形?其中曲线弧称为曲边?求曲边梯形的面积的近似值?将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积?则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值?具体方法是?在区间[a?b] 中任意插入若干个分点 a?x 0?x 1?x 2?????x n?1?x n?b?把[a?b] 分成 n 个小区间[x 0?x 1]?[x 1?x 2]?[x 2?x 3]?????[x n?1?x n]?它们的长度依次为?x 1?x 1?x 0???x 2?x 2?x 1??????x n?x n?x n ?1?经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段?把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形?在每个小区间[x i ?1?x i] 上任取一点??i?以[x i ?1?x i] 为底、f(??i) 为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(i?1?2????? n)?把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值?即 A?f(??1)?x 1?f(??2)?x 2?????f(??n)?x n???? ni iixf 1)(??求曲边梯形的面积的精确值?显然?分点越多、每个小曲边梯形越窄?所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯高等数学教案第五章定积分 2 形面积 A 的精确值?因此?要求曲边梯形面积 A 的精确值?只需无限地增加分点?使每个小曲边梯形的宽度趋于零?记?? max{ ?x 1??x 2??????x n}?于是?上述增加分点?使每个小曲边梯形的宽度趋于零?相当于令??0?所以曲边梯形的面积为????? ni iixfA 1 0)( lim ??? 2?变速直线运动的路程设物体作直线运动?已知速度v?v(t) 是时间间隔[T 1?T 2]上t 的连续函数?且v(t)?0?计算在这段时间内物体所经过的路程 S?求近似路程?我们把时间间隔[T 1?T 2] 分成 n 个小的时间间隔?t i?在每个小的时间间隔?t i内?物体运动看成是均速的?其速度近似为物体在时间间隔?t i 内某点?? i 的速度v( ?? i)?物体在时间间隔?t i内运动的距离近似为?S i?v( ?? i) ??t i?把物体在每一小的时间间隔?t i内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1?T 2] 内所经过的路程 S 的近似值?具体做法是?在时间间隔[T 1?T 2] 内任意插入若干个分点 T 1?t 0?t 1?t 2?????t n?1?t n?T 2?把[T 1?T 2] 分成 n 个小段[t 0?t 1]?[t 1?t 2]?????[t n?1?t n]?各小段时间的长依次为?t 1?t 1?t 0??t 2?t 2?t 1??????t n?t n?t n?1?相应地?在各段时间内物体经过的路程依次为?S 1??S 2??????S n?在时间间隔[t i ?1?t i] 上任取一个时刻? i(t i ?1?? i?t i)?以? i 时刻的速度v(? i) 来代替[t i ?1?t i] 上各个时刻的速度?得到部分路程?S i 的近似值?即?S i?v(? i) ??t i(i?1?2?????n)?于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值?即???? ni iitvS 1)(??求精确值?记?? max{ ?t 1??t 2??????t n}?当??0时?取上述和式的极限?即得变速直线运动的路程????? ni iitvS 1 0)( lim ???设函数 y?f(x) 在区间[a?b] 上非负、连续?求直线 x?a、x?b、y?0 及曲线 y?f(x) 所围成的曲边梯形的面积?(1) 用分点 a?x 0?x 1?x 2?????x n?1?x n?b 把区间[a?b] 分成 n 个小区间?[x 0?x 1]?[x 1?x 2]?[x 2?x 3]?