标准偏差与相对标准偏差公式.doc

标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差
　　数学表达式:
　　
S-标准偏差(%)
n-试样总数或测量次数,一般n值不应少于20-30个
i-物料中某成分的各次测量值,1～n;
标准偏差的使用方法
六个计算标准偏差的公式[1]
标准偏差的理论计算公式
　　设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有　　　　σ1 = li − X
　　σ2 = l2 − X
　　……
　　σn = ln − X
　　我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
　　
　　 (1)
　　由于真值X都就是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差与相对标准偏差公式
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标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
　　由于真值就是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就就是真值。
　　于就是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)Vi来代替真差σ , 即
　　
　　设一组等精度测量值为l1、l2、……ln
　　则　
　　　　
　　　　……
　　　　
　　通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
　　
　　将上式代入式(1)有
　　
　　　　　(2)
　　式(2)就就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差与相对标准偏差公式
　　它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时,,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)就是完全一致的。
　　应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的就是标准偏差σ的一个估计值。它不就是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于就是, 将式(2)改写为
　　　　(2')
　　在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有
　　
　　于就是, 式(2')可写为
　　　　(2")
　　按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方与与各测得值之与的平方艺 , 即可。
标准偏差σ的无偏估计
　　数理统计中定义S2为样本方差
　　
　　数学上已经证明S2就是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不就是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就就是说S与σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为
标准偏差与相对标准偏差公式
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　　　　(3)
　　令
　　则
　　即S1与S仅相差一个系数Kσ,Kσ就是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。
　　计算Kσ时用到
　　Γ(n + 1) = nΓ(n)
　　
　　Γ(1) = 1
　　由表1知, 当n>30时, 。因此, 当n>30时, 式(3')与式(2')之间的差异可略而不计。在n=30～50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时, 由于Kσ值的影响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然就是不妥的。
标准偏差的最大似然估计
标准偏差与相对标准偏差公式
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标准偏差与相对标准偏差公式
　　将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到
　　
　　　　(4)
　　式(4)适用于n>50时的情况, 当n>50时,n与(n-1)对计算结果的影响就很小了。
　　2、5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。
　　极差用"R"表示。所谓极差就就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。
　　若对某量作次等精度测量测得l1、,且它们服从正态分布, 则
　　R = lmax − lmin
　　概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为
　　　　(5)
　　S3称为标准偏差σ的无偏极差估计, d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数, 其值见表2
标准偏