标准偏差与相对标准偏差公式.doc

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标准偏差
数学表达式:
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? S-标准偏差（%）
n值不应少于20-30个
1〜n ；
? n-试样总数或测量次数，一般
? i-物料中某成分的各次测量值,
标准偏差的使用方法
六个计算标准偏差的公式⑴
标准偏差的理论计算公式
设对真值为X的某量进行一组等精度测量 ，其测得值为11、|2、……|n。令测得值|与该量真
值X之差为真差占 O'则有 01 = | i - X
02 = | 2 - X
我们定义标准偏差（也称标准差）O为
=lim .
n—.x、
1 n
-力仙-心
n
由于真值X都是不可知的，因此真差b占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差b的常用估计一贝塞尔公式
由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值
L(L =
/ — ] + 仿 + … + 仁、
来代表真值。理论上也证明 ，随着测量次数的增多，算
术平均值最接近真值
当时，算术平均值就是真值。
于是我们用测得值
h与算术平均值
i .之差 剩余误差（也叫残差） Vi来代替真差 b,即
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设一组等精度测量值为 -|2、
则 ‘1, 一 ： - 一 /
M =仿 一 E
Vn lTl — L
通过数学推导可得真差 b与剩余误差V的关系为
71 71
£於=丄£旷—e
h 1冗一1幺
将上式代入式（1）有
1 n _
Ji
式⑵就是著名的贝塞尔公式 (Bessel)
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当 迂 —•时，
匚一 二上汽一 ■■■ 一： ■厂,可见贝塞尔公式与 b的定义式 ⑴是完全一致的
应该指岀，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差 b的一个估计值。它不是总体标
准偏差b因此，我们称式⑵为标准偏差 b的常用估计。为了强调这一点 ，我们将b的估计值用
“ S表示。于是，将式⑵改写为
(2')
在求S时，为免去求算术平均值 J的麻烦，经数学推导(过程从略)有
ID2卫-亠丄
E=1 i=l 口
于是，式(2')可写为
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按式(2")求S时，只需求岀各测得值的平方和
一 •、 和各测得值之和的平方艺
n
(E)2
1=1 ,即
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标准偏差b的无偏估计
数理统计中定义S2为样本方差
数学上已经证明 S2是总体方差02的无偏估计。即在大量重复试验中 ，S2围绕02散布，它们之 间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差 b的无偏估计，也就是说S和b之 间存在系统误差。概率统计告诉我们 ，对于服从正态分布的正态总体 ，总体标准偏差 b的无偏估
计值I为
即s和S仅相差一个系数 K b,K b是与样本个数测量次数有关的一个系数 ，Kb值见表
计算Kb时用到
r n + 1) = n r(
『(£) = w
r(1)= 1
表1 &值
a
a
$
2
L2533
---
1
LW24
20

«)
tows
3
L1284
8

25
L0105
n
L0036
4

9
L0317
30
L0087
80
L0032
i
5

10
.
4
L0064
»
j L0028
6
1画
15
L0180
50
L0Q51
100
! L0025
由表1知，当n>30时, U 」江汽:：加 因此，当n>30时，式(3')和式(2')之间的
差异可略而不计。在 n=30〜50时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当 n<10时，由于K。值的影
响已不可忽略，宜用式(3'),求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。