函数单调性地判定方法.docx

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函数单调性的判定方法
.判断具体函数单调性的方法
对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单 调性的方法有如下几种：
定义法
首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f为定义在D上的函数。若对任何x1、
X2 w D ,当Xi ex2时，总有
f(Xi)<f(X2),则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等 f(Xi)<f(X2)
时，称f为D上的严格增函数；
f(Xj2f(X2)，则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(X1)> f(X2)
时，称f为D上的严格减函数。
给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的 单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数
y = f (x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：
(1)设元，任取 X1, x2 w D 且 X1 < x2 ;
(2)作差 f (X1) - f (X2);
(3)变形(普遍是因式分解和配方)；
(4)断号(即判断f (x1)- f (X2)差与0的大小)；
(5)定论(即指出函数 f(x)在给定的区间D上的单调性)。
(x) = -x3 +a(a w R)在(q产)上是减函数。
证明：设x1, x2亡(―吗十七),且X1 < x2,贝^
f (x1) - f (x2) = -x3 a -(-x； a) = x3 -x13 = (x2 -x1)(x12 x2 x1x2).
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2 , X2、2 3 2
田于 X1 +x2 +x1x2=(x1 + ——)+ — X2 > 0 , X2 - X1 >0 2 4
贝^ f(X1) - f (x2) = (x2 一 X1)(x12 + X2 + X1X2) A 0 ,即 f (X1 ) A f (x2),所以 f(X)在(一°0,+9 ) 上是减函数。
... .... k .
(x) =x + - (k > 0)在(0,收)上的单调性。
x
证明：设 Xi、X2 W (0, y),且 Xi < X2 ,则
一..一k . . k . . . k k .
f (Xi) - f d) Ax )-(X2 )u(Xi-X2)( )
X1 X2 X1 x2
X2 - Xi X1 - x2 X1 x2 - k
—(xi — X2 ) *k( ) — (xi — X2 ) — k( ) — (xi — x2)( ),
X1X2 X1X2 X1X2
又 0 < X1 < X2 所以 X1 - X2 < 0 , X1 x2 > 0 ,
当 Xi、X2 W(0,4］时 XiX2 —k W0= f(Xi)- f(X2)，0,此时函数 f(x)为减函数;
当 Xi、x2 w (4,+r)时为X2 —k >0= f (X1) - f (X2) < 0 ,此时函数 f(x)为增函数。 k
综上函数f(x)=x+— (k >0)在区间(0, Jk］内为减函数；在区间(dk,+8)内为增函 X
数。
此题函数f(x)是一种特殊函数(对号函数)，用定义法证明时通常需要进行因
式分解，由于XiX2-k与0的大小关系(k A 0)不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数 为,X2当
Xi <X2时，容易得出f(Xi)与f(X2)大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较 繁琐。

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。 函数性质法通常与我
们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下 表：
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一
次 函 数
y =kx +b(k 00)
当k >0时，y在R上是增函数；
当k<0时，y在R上是减函数。
口 F
一 次 函 数
y =ax2 + bx +c
(a 0 0,a,b,c w R)
.. b
当a a 0时，x < ——时y单倜减， 2a
b
x > 时y单调增；
.. b
当a < 0时，x < ———时y单倜增， 2a
b
x > ——时y单倜减。
2a
J，
反比例函数
k
y = 一
x
(k w R且 k 00 )
当k>0时，y在x<0时单调减，在x>0
时单调减；
当k<0时，y在xc0时单调增，在 x>0
时单调增。