数值分析(15)分段低次插值.ppt

数值分析数值分析我们已经知道插值有多种方法: Lagrange 插值、 Newton 插值、 Hermite 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段,而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么,是否插值多项式的次数越高,越能够达到这个目的呢?现在我们来讨论一下这个问题。第五节分段低次插值数值分析数值分析我们已经知道: f(x) 在 n+1 个节点 xi (i=0 ,1,2, …, n) 上的 n次插值多项式 Pn (x) 的余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知,当 f(x) 充分光滑时,若余项随 n增大而趋于 0时,这说明可用增加节点的方法达到这个目的,那么实际是这样吗? ???????? ni i n nxxn fxPxfxR 0 11 )( )!( )()()()( )(? lim ( ) ( ) nn P x f x ???是否有 ,即要讨论收敛性问题。数值分析数值分析插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间 Pn(x) 不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge) :1901 年龙格(Runge) 给出一个例子: 20 1 ( ) ( 1 1), 1 25 1 ( [ 1,1] ), ( ) ( ) knj n j j f x x xk x n n x x P y l ?? ??????? ???对于函数取等距节点即将区间进行等分得到龙格(Runge) 现象数值分析数值分析插值多项式情况,见图:取 n=6 和 n=10 从图中可见, P10(x) 仅在区间[-,] 内能较好地逼近 f(x), 而在其余位置, P10(x) 与 f(x) 的值相差很大,越靠近端点,,高次多项式插值发生的这种现象称为龙格现象. 如 P6()= P10()= f()= 数值分析数值分析龙格(Runge) 现象表明插值多项式序列不收敛,实际上,严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的,而且高阶插值还是不稳定的。数值稳定性从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差. 数值分析数值分析因此实际应用中常采用分段低次插值。(1)分段线性插值(2)分段二次插值与分段三次插值(3)分段 Hermite 插值(4) 分段三次样条插值因此,实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢? 数值分析数值分析定义设 f(x) 是定义在[a,b] 上的函数,在节点 a= x0< x1<x2< …<xn-1<xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 , … yn-1 ,yn , 若函数?(x) 满足条件 (1) ?(x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2, ???,n-1) 上是线性插值多项式; (2) ?(xi )= yi , i=0,1,2, …,n (3) ?(x) 在区间[a , b] 上连续;则称?(x) 是 f(x) 在[a ,b] 上的分段线性插值多项式。 . 一、分段线性插值多项式数值分析数值分析 , ?(x) 在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2, ???,n-1) 上是一次插值多项式; 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , i i i i i i i i i i x x x x x L x y y x x x x x x x ??? ?? ?? ?? ? ???? ?分段线性插值曲线图: 数值分析数值分析 0 1 0 1 ...... ( ) i