第六节 定积分应用.ppt

第六节 定积分应用
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一、微元法
按定积分概念，定积分
取决于函数 和它的定义区间 。
定积分 对于区间具有可加性是指区间上对应的总量等于所有子区间 上对应的部分量 之和。凡是需要用定积分来度量的量，必须具有可加性这一基本特征。
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若函数 在区间 上连续，变上限积
分 对积分上限的导数为
也就是说用定积分度量的整体量 在 内子区间 上所对应的部分量 的近似值就是 在 点的微分，即
按微分概念，子区间 上部分量 与近似值 之差为 时，比 高阶的无穷小
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通常把定积分度量的量 在 的子区间 上所对应的部分量 近似为子区间长度 的线性函数 。
称为积分量 的微元（元素）
用微元法解决具体问题时，在确定积分变量 和积分区间 之后，关键步骤是找出积
分量 的微元 ，然后计算定积分
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按定积分微元法概念：
⑴ 无限细分：
将函数 的定义区间 细分成无穷多个子区间任意取其中一个记为 以函数在 点的值 和小区间长度 的积作为积分量 的微元 ；
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⑵ 无限求和：
定义在区间 上的积分量 是所有微元的总和，即
利用微元法可以计算很多如几何的、物理的或其它方面的无限可加量的求和问题。
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二、平面图形的面积

【例题】求由抛物线 ，横轴及直线 所围成的图形面积
解：
函数方程为
面积微元为
故
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【例题】计算由两条抛物线 和 所围成的图形面积.
解：
解出两条抛物线 和 的交点坐标为原点 和点 ，
图形定义于区间 上
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在垂直于 轴的方向上，取区间 上任一子区间 ,
在此子区间上对应的面积元素为： （见图示）
——面积元
因此，两条抛物线所围成的图形面积为
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类似的，若将所求面积的图形看作定义于 到 区间内，由曲线 所围成，则
任取子区间
它所对应的面积元素
两条抛物线所围成的
图形面积为：
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