第六节 定积分应用.ppt

第六节 定积分应用
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一、微元法
按定积分概念，定积分
取决于函数 和它的定义区间 。
定积分 对于区间具有可加性是指区间上对应的总量等于所有子区 为
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解：面积元为
【例题 】求椭圆 所围图形的面积。
令
原式
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【例题 】
⑴ 求椭圆 所围成的图形面积。
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解：
图形关于两坐标轴都对称
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⑵ 求星形线 所围成的
图形面积。
图形关于两坐标轴都对称
解：
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⑶ 求旋轮线 , 之一拱
与 所围成的图形面积。
解：
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极坐标：
如图示，以极径 和极角 来确定平面上点的坐标，记为
极坐标与直角坐标的关系为
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如果曲线由极坐标方程
给出，这条曲线与从原点出发的两条射 线 围成一个曲边扇形。
在极角 的变化区间 内任取一个微小的子区间 ，它所对应的微小曲边扇形就是极坐标中的面积元素，即
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曲边扇形面积由定积分给出：
【例题】计算Archimedes螺线上一段弧 与极轴所围成的图形面积。
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解：
取极角 为积分变量，螺线内的面积元素
图形面积
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【例题】计算心形线 所围成的图形面积并求心形线与圆 交集的面积。
解：
心形线围成图形的面积
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心形线与圆 交集的面积
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三、体积

一个平面图形绕此平面内一条直线旋转一周而形成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。圆柱（圆盘）、圆锥、球体等都是最简单的旋转体，计算旋转体的体积的方法有“切片”法和圆柱薄壳法
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⑴ “切片”法
由曲线 和直线 ， ， 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周形成的旋转体被垂直于 轴诸多平行平面所分割，成为很多纵切片。在子区间 上的窄曲边梯形所生成的半径为 的薄圆盘形切片就是旋转体的体积微元。
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旋转体的体积微元
旋转体的体积为
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如果旋转体是由曲线 和直线 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周形成的，它被垂直于 轴的诸多平行平面所分割，成为很多横切片。
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此旋转体体积为
体积微元为
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【例题】求上下底面半径分别为 高为 的圆台体积。
解：
把圆台看作一个直角梯形（如图所示）绕 轴旋转一周形成的。梯形斜边的方程为
圆台体积
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讨论：若 ，上式给出底半径为
高为 的圆锥体积 。
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【例题】计算由椭圆 分别绕 轴
旋转形成的旋转椭球体积。
解：
椭圆绕