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数学史作业.doc【数学史论文】
数学悖论与三次
数学危机及解决
姓名：高军明
专业：数学教育
班级：12级在职教育硕士（1）班
学号：03120046
数学悖论与三次数学危机及解决
摘要：数学发展从来不是完全直线式的，而是会常常出现悖论。历史上一连串的数 学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的 产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机 和希望，促进了数学的繁荣。危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。危机产生、解决、 又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的 过程。从哲学角度看，矛盾是无处不在、不可避免的，即使是以确定无疑著称的数学也不 例外。在整个数学发展过程中存在许多更为深刻的矛盾：有穷与无穷、连续与离散，乃至 存在与结构、逻辑与直观、概念与计算等等。数学的发展史贯穿着矛盾的斗争和解决，而 在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。悖论不仅迷人，更是数学不可 分割的一部分，并为数学发展提供了持久而强大的推动力。数学史上出现的三次数学危机 都与悖论有关。人们从悖论中发现问题、解决危机，并在悖论的解决中让数学之花绽放。 从三次数学危机的产生、发展和解决的过程，我们可以不仅会被数学的魅力所吸引，更会为 一代代数学家的惊人想象力和创造力所折服。本文从悖论出发研究三次数学悖论，并围绕 悖论以更为宽广的视角介绍了数学发展过程的重大数学成果，使我们对无理数，微积分, 集合论等美妙的数学之花的来龙去脉有更加清晰的认识，说明悖论对数学发展的无可替代 影响。
关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论
悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛 盾。
悖论常常以逻辑推理为手段，深入到原理论的根基之中，尖锐地揭露出该理论 体系中潜藏着的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。科 学危机的产生，往往是科学革命的前兆和强大杠杆，是科学认识飞跃的关节点和开 始进入新阶段的重要标志。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所 谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认 识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。数学中有许多著名的悖论，除前面提到的 伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里一一福蒂最大序数 悖论、理杳德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。数学史上的危机，指数学发 展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展 阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大 发展。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的，下面作以简要的分析。
毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机

公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为 是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为 宇宙的本质就是数的和谐。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数 （即分数，两个整数的比），除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。
毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉