第三章 非线性回归分析.ppt

第三章非线性计量经济模型一、非线性模型的线性化二、非线性模型的参数估计三、一个例子一、非线性模型的线性化⑴指数函数模型 y t = ttu bx ae ? ( 3 .1) b >0 和b <0 两种情形的图形分别见图 3 .1和3 .2。显然 x t和y t 的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数,得 Lny t = Lna + bx t + u t ( ) 令 Lny t = y t* , Lna = a* , 则 y t* = a* + bx t + u t () 变量 y t*和x t 已变换成为线性关系。其中 u t 表示随机误差项。图3 .1 y t=ttu bx ae ?, (b > 0) t=ttu bx ae ?, (b < 0) ⑵对数函数模型 y t = a + b Ln x t + u t ( ) b >0和b <0 两种情形的图形分别见图 。x t和y t 的关系是非线性的。令 x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t* + u t ( ) 变量 y t和x t* 已变换成为线性关系。 t = a + b Lnx t + u t , (b > 0)图3. 4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0) ⑶幂函数模型 y t = a x t btue ( ) b 取不同值的图形分别见图 。x t和y t 的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数,得 Lny t = Lna + b Lnx t + u t ( ) 令y t*= Lny t , a*= Lna , x t * = L nx t , 则上式表示为 y t * = a* + bx t* + u t ( ) 变量 y t * 和x t * 之间已成线性关系。其中 u t 表示随机误差项。( ) 式也称作全对数模型。 t = a x t btue 图3. 6 y t = a x t btue ⑷双曲线函数模型 1/y t = a + b/x t + u t ( ) 也可写成, y t = 1/ ( a + b/x t + u t) () b >0情形的图形见图 。x t和y t的关系是非线性的。令 y t * = 1/ y t, x t * = 1/ x t,得 y t* = a + bx t * + u t 已变换为线性回归模型。其中 u t表示随机误差项。图3. 7 y t = 1/ ( a + b/x t ) , ( b > 0)图3. 8 y t = a + b/x t , ( b > 0) ⑸多项式方程模型一种多项式方程的表达形式是 y t=b 0 +b 1 x t + b 2 x t 2 + b 3 x t 3 + u t (3. 12) 其中 b 1 >0, b 2 >0, b 3 >0和b 1 <0, b 2 >0, b 3 <0 情形的图形分别见图 3 .9和3 .10。令x t1 = x t,x t 2 = x t 2, x t 3 = x t 3 ,上式变为 y t=b 0 +b 1 x t 1 + b 2 x t 2 + b 3 x t 3 + u t (3. 13) 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图 3 .9 相似。图3. 9 y t=b 0 +b 1 x t + b 2 x t 2 + b 3 x t 3 + u t图3. 10 y t=b 0 + b 1 x t + b 2 x t 2+b 3 x t 3 + u t 另一种多项式方程的表达形式是 y t=b 0 +b 1x t + b 2x t 2 + u t (3. 14) 其中 b 1 >0, b 2 >0和b 1 <0, b 2 <0 情形的图形分别见图 3 .11和3 .12。令x t1 = x t,x t 2 = x t 2 ,上式线性化为, y t=b 0 +b 1 x t1 + b 2x t2 + u t (3. 15) 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图