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离散数学(大作业)-吉林大学
2021-2021学年第二学期期末《离散数学》大作业
一、简要回答下列问题：(每小题3分，共30分)
.请给出集合运算的等事率。答：等幕律A?A=A, A?A=A
.请给出一个集合A,并给出A上既具有对称性，乂具有反对称性的关系。答：设 A二{1,2, 3}, R={ (L 1) , (2, 2) , (3, 3) }既对称乂反对称。
.设A二{1, 2, 3),问全域关系是否具有自反性，对称性？答：是，全域关系具有 自反性、对称性
.设A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, R是A上的整除关系，M={4,3},求M的上界，下界。 答：上界无下界1
.关于P, Q, R请给出使极小项ml, m7为真的解释。
答：P=0,Q=0,R=l, ?P八？QAR,记为 ml 取 1 值，为真；P=l,Q=l,R=b PAQAR 记为m7 取1值，为真。
.什么是图中的回路，请举一例。
设G二(P, L)是图，(v0 , vl, •••, vn)是G中从v0到vn的路，称此路为简单路，如果
(1) v0，…，vnT互不相同(2) vl ,…，vn互不相同
显然，一条简单路(V。, vl, •••, vn),除V。与vn可以相同外，其他任意两点都不相 同。
B C
A F E D
上图中，路(A, B, C, D), (A, E, D, A)是简单路，而路(A, B, F, C, B)不是 简单路。
设G=(P, L)是图，G中从点v到自身的长度不小于3的简单路，称为回路。上图中, 路(A, E, D, A) , (A, D, C, F, B, A)是回路°
当简单路的起点和终点重合时，并且从起点再到自身的长度大于等于3时，即为回路。
.设S是一个非空集合，？(S)是S的富集，？，？是集合的交，并运算。求对于？的 单位元，对？的单位元。
答：对于？的单位元是S,对于？的单位元是空集？。
.什么是群中左模H合同关系？答：包含a的左陪集，就是以H的所有元素乘以a 所得的集合Ha,定义a合同于b(左模H), a^b (左mod H)
202L2021学年第二学期期末《离散数学》大作业
.有壹环的子环是否一定是有壹环？答：不一定，可能有，也可能没有
.设 R={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}是模 12 的整数环，问 N1=6R, N2=2R是否为R的极大理想？答：
Nl=6R={0, 6},不是 R 的极大理想，是 R 的主理想。N2=2R={0, 2, 4, 6, 8, 10}, 是R的极大理想。
二、(12分)R, S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：
(RUS)= RUS
-1-1-1
(Rns)= RAS 答： 证明：
-i
⑴任取(x,y) W (RUS),即(y,x) G (RUS),也就是(y,x) £R 或者(y,x) WS,于是 (x, y) 或者(x,y) WS,故(x,y) GRUS,,即证得(RUS)二 RUS 证
明：
1
(2)任取(x, y) G (RAS),即(y, x) G (RAS),也就是(y, x) ER 并且任,x) - S,于 是(x,y) T-1-1-1-1TT£R 并且(x,