不定积分的几种基本方法.pdf

§ 2009年11月25日不定积分的几种基本方法 1凑微分法(第一换元法) 2变量代换法(第二换元法) 3分部积分法 1 / 22 不定积分的几种基本方法 1凑微分法(第一换元法) 2变量代换法(第二换元法) 3分部积分法 2 / 22 先看一个例子 1 Z 1 1 +x 2 dx= arctanx+C (1) 2 Z 1 a 2+x 2 dx a6=0 == 1a Z 1 1 +( xa ) 2 1a dx = 1a Z 1 1 +( xa ) 2 d( xa ) Apply(1) ==== 1a arctan xa +C (2) 3(2)的一般情况: Zg(x)dx= Zf(φ(x))φ 0(x)dx= Zf(φ(x))dφ(x) =F(φ(x))+C (3) 3 / 22 先看一个例子 1 Z 1 1 +x 2 dx= arctanx+C (1) 2 Z 1 a 2+x 2 dx a6=0 == 1a Z 1 1 +( xa ) 2 1a dx = 1a Z 1 1 +( xa ) 2 d( xa ) Apply(1) ==== 1a arctan xa +C (2) 3(2)的一般情况: Zg(x)dx= Zf(φ(x))φ 0(x)dx= Zf(φ(x))dφ(x) =F(φ(x))+C (3) 3 / 22 先看一个例子 1 Z 1 1 +x 2 dx= arctanx+C (1) 2 Z 1 a 2+x 2 dx a6=0 == 1a Z 1 1 +( xa ) 2 1a dx = 1a Z 1 1 +( xa ) 2 d( xa ) Apply(1) ==== 1a arctan xa +C (2) 3(2)的一般情况: Zg(x)dx= Zf(φ(x))φ 0(x)dx= Zf(φ(x))dφ(x) =F(φ(x))+C (3) 3 / 22 第一换元法 Theorem (凑微分法) 设设设F(u)可微,F 0(u) =f(u),u=φ(x)可微,则 Zf(φ(x))φ 0(x)dx=F(φ(x)) +C 证明. 只需要说明原函数的导数等于被积函数即可,即: [F(φ(x))] 0=F 0(φ(x))φ 0(x) =f(φ(x))φ 0(x) 被积表达式凑成形式f(φ(x))φ 0(x)dx,即f(φ(x))dφ(x) 实际应用时可以略写中间变量u=φ(x),如(3) 4 / 22 第一换元法 Theorem (凑微分法) 设F(u)可微,F 0(u) =f(u),u=φ(x)可微,则 Zf(φ(x))φ 0(x)dx=F(φ(x)) +C 证明. 只需要说明原函数的导数等于被积函数即可,即: [F(φ(x))] 0=F 0(φ(x))φ 0(x) =f(φ(x))φ 0(x) 被积表达式凑成形式f(φ(x))φ 0(x)dx,即f(φ(x))dφ(x) 实际应用时可以略写中间变量u=φ(x),如(3) 4 / 22 第一换元法 Theorem (凑微分法) 设F(u)可微,F 0(u) =f(u),u=φ(x)可微,则 Zf(φ(x))φ 0(x)dx=F(φ(x)) +C 证明. 只需要说明原函数的导数等于被积函数即可,即: [F(φ(x))] 0=F 0(φ(x))φ 0(x) =f(φ(x))φ 0(x) 被积表达式凑成形式f(φ(x))φ 0(x)dx,即f(φ(x))dφ(x) 实际应用时可以略写中间变量u=φ(x),如(3) 4 / 22 常见不定积分(一) 1 R 1 √a 2?x 2dx,(a>0) = Z 1 q1?( xa ) 2 1a dx= Z 1 q1?( xa ) 2 d( xa )= arcsin xa +C 2 R 1 a 2?x 2dx,(a6= 0) = Z 1 (a?x)(a+x) dx= 12a Z( 1 a?x + 1 a+x )dx = 12a [? Z 1 a?x d(a?x) + Z 1 a+x d(a+x)] = 12a [(?ln|a?x|+C 1) +(ln|a+x|+C 2)]= 12a ln| a+x a?x |+C 3请验证a6= 0时, R 1 x 2?a 2dx= 12a ln| x?a x+a |+C 5 / 22 常见不定积分(一) 1 R 1 √a 2?x 2dx,(a>0) = Z 1 q1?( xa ) 2 1a dx = Z 1 q1?( xa ) 2 d( xa )= arcsin xa +C 2 R 1 a 2?x 2dx,(a6= 0) = Z 1 (a?x)(a+x) dx= 12a Z( 1 a?x + 1 a+x )dx = 12a [? Z