函数点对称线对称及周期总结.docx

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函数点对称线对称及周期总结
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函数点对称线对称及周期总结
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函数对称性、周期性全分析
函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考取的一个要点，此刻所有分析以下：
一、 同一函数的周期性、对称性问题 ( 即函数自己 )
1、 周期性： 对于函数 y f ( x) ，假如存在一个不为零的常数 T，使适当 x 取定义域内的每一个
值时，都有 f ( x T ) f ( x) 都建立， 那么就把函数 y f (x) 叫做周期函数， 不为零的常数
叫做这个函数的周期。假如所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期 。
2、 对称性定义（略） ，请用图形来理解。
3、 对称性：
我们知道：偶函数对于
y（即 x=0）轴对称，偶函数相关系式
f (
x)
f ( x)
奇函数对于（
0， 0）对称，奇函数相关系式
f ( x)
f (
x)
0
上述关系式能否能够进行拓展？答案是必定的
商讨：（ 1）函数 y
f ( x) 对于 x
a 对称
f (a
x)
f (a
x)
f (a
x) f ( a
x) 也能够写成 f (x)
f (2a
x)
或 f (
x)
f (2a
x)
简 证 ： 设 点 (x1, y1 )
在 y
f ( x)
上 ， 通 过 f (x)
f ( 2a
x) 可 知 ，
y1
f (x1 )
f (2a x1 ) ，即点 (2a
x1 , y1 )也在 y
f ( x) 上，而点
(x1 , y1 ) 与点
( 2a
x1 , y1 ) 对于 x=a 对称。得证。
若写成： f (a
x)
f (b
x) ，函数 y
(a
x) (b
x)
a b
f (x) 对于直线 x
2
2
对称
（ 2）函数 y
f ( x) 对于点 (a,b)对称
f (a
x)
f ( a
x)
2b
上述关系也能够写成 f (2a x) f (
x)
2b
或
f (2a
x)
f ( x)
2b
简证：设点 (x
, y
)
在
y
f ( x)
上，即 y
f ( x ) ，经过
f ( 2a x) f (x)
2b
可知，
1
1
1
1
f ( 2a x1 )
f (x1 ) 2b ， 所 以 f