小学奥数（1年级）-数论之数论题目.doc

三教上人（A+版-Applicable Achives）
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
浙江师范大学《初等数论》考试卷（A1卷）
（2004——2005学年第一学期）
考试类别 使用学生数学专业**本科
考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日
说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。
填空（30分）
1、d（1000）= 。φ（1000）= 。()=______ 。
2、 ax+bY=c有解的充要条件是 。
3、被3除后余数为 。
4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+3Z]可能的值为 。
5、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）= 。
6、高斯互反律是 。
7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。
8、带余除法定理是 。
答案
1、16．2340，1
2、（a，b）|c
3、1
4、3，4，5，6，7，8，9，10，11
5、
6、 ，p，q为奇素数
三教上人（A+版-Applicable Achives）
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
7、2，29
8、a，b是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q，r使得
解同余方程组（12分）
答案
解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2）
所以同余式组有解
原方程等价于方程
即
由孙子定理得
 
 
A、叙述威尔逊定理。
B．证明若，则m为素数（10分）
答案
A．(威尔逊定理)整数 是素数，则
 
证：若m不是素数，则m=ab， ，则 ，则有
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
不可能，所以m是素数。
 
四．解方程 ≡0（mod　２７） （10分）
答案
解：由 ≡0（mod3）得 得x=1+3t代入
≡0 （mod9）有 有 代入x=1+3t得
代入 ≡0 （mod27）有 代入有
，
即
设2Ｐ+1为素数,试证 （10分）
答案
证：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理 即有
即证
 
设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数不是素数。（10分）
答案
证：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余， 即
所以梅森数 不是素数。
三教上人（A+版-Applicable Achives）
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
 
证 无正整数解。（8分）
答案
证：假设 有解，设（x，y，z）是一组正整数解，则有x是3的倍数，设x=3x1,又得到y为3的倍数，设 ,又有 ， 则有解 且z>z1
这样可以一直进行下去，z>z1>z2> z3>z4>…
但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾
 
设n是大于2的整数，证明为偶数（10分）
答案
证：因为（-1，n）=1，由欧拉定理有
，因为n大于2，只有 为偶数。
浙江师范大学《初等数论》考试卷（B1卷）
（2004——2005学年第一学期）
考试类别 使用学生数学专业**本科
考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日
说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。
填空（30分）
1、d（37）= 。σ（37）= 。
2、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）= 。
3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为 。
三教上人（A+版-Applicable Achives）
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
4、7在2004！中的最高幂指数是 。
5、（1501 ，300）= 。
6、有解的充要条件是 。
7、威尔逊定理是 。
8、写出6的一个绝对值最小的简化系 。
9、被7除后的余数为 。
答案:
1、2，38
2、
3、7
4、331
5、1
6、
7、P为素数，
8、1，5
9、5
解同余方程组（12分）
答案:
解：因为5