D三重积分同济大学高等数学学习教案.pptx

会计学
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D三重积分(jīfēn)同济大学高等数学
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定义(dìngyì). 设
存在(cúnzài),
称为(chēnɡ wéi)体积元素,
若对  作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
例如
下列“乘
中值定理.
在有界闭域  上连续,
则存在
使得
V 为 的
体积,
积和式” 极限
记作
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二、三重(sān zhònɡ)积分的计算
1. 利用直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)计算三重积分
方法(fāngfǎ)1 . 投影法 (“先一后二”)
方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法3 . 三次积分法
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
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方法(fāngfǎ)1. 投影法 (“先一后二” )
该物体(wùtǐ)的质量为
细长(xì chánɡ)柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
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方法(fāngfǎ)2. 截面法 (“先二后一”)
为底, d z 为高的柱形薄片(báo piàn)质量为
该物体(wùtǐ)的质量为
面密度≈
记作
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投影(tóuyǐng)法
方法(fāngfǎ)3. 三次积分法
设区域(qūyù)
利用投影法结果 ,
把二重积分化成二次积分即得:
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当被积函数(hánshù)在积分域上变号时, 因为
均为非负函数(hánshù)
根据重积分性质(xìngzhì)仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重(sān zhònɡ)积分的计算方法
方法(fāngfǎ)1. “先一后二”
方法(fāngfǎ)2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
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其中(qízhōng) 为三个坐标
例1. 计算(jì suàn)三重积分
所围成的闭区域(qūyù) .
解:
面及平面
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例2. 计算三重(sān zhònɡ)积分
解:
用“先二后一 ”
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