狄拉克符号_Dirac_.pdf

1 狄拉克符号( Dirac ) 1狄拉克符号量子体系状态的描述,前述波动力学和矩阵力学两种方法,其共同特点是:与体系有关的所有信息都有波函数给出;极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合, 而展开系数模平方具有力学量概率的含义。问题:能否不从单一角度描述体系,而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念?狄拉克从数学理论方面,构造了一个抽象的、一般矢量-- 态矢,并引进了一套“狄拉克符号”,简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。 狄拉克符号的引入 态空间任何力学量完全集的本征函数系?? xu n 作为基矢构成希尔伯特空间(以离散谱为例), 微观体系的状态波函数 y 作为该空间的一个态矢,有?? n nnuay (1) na 即为态矢y 在基矢 nu 上的分量,态矢y 在所有基矢?? nu 上的分量?? na 构成了态矢在?? nu 这个表象中的表示(矩阵) ??????????????????? na a a 2 1y??,,,, **2 *1naaa??y (2) 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应, 故称该空间为态空间注意:( 1 )式中的 nu 只是表示某力学量的本征态,而抛开其具体表象;( 2 )式的右方是 y 的?? nu 表象 态空间中内积(标积)的定义设态空间中两个任意态矢 Ay 与By 在同一表象?? nu 中的分量表示各为?? na 与?? nb ,则两态 2 矢内积的定义为????????????????????n nnn nBAbab b baaa * 2 1**2 *1,,,,???? yy (3) 注意:ABBAyyyy ??? 狄拉克符号的引入态空间中的 y 与?y 在形式上具有明显的不对称性,狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间?伴随空间引入符号?,称为右矢[ Ket 矢, Bra 矢( Bracket 括号??)] 微观体系的一个量子态 y ?y 表示,?y 的集合构成右矢空间, ?y 在右矢空间中的分量表示可记为矩阵???????????????????? na a a 2 1y (4) 约定:右矢空间的态矢?,,, BAyyy 一律用字母?,,,??? BAyyy 表示力学量的本征态矢一律用量子数??,,,2,1????nlm n ,或连续本征值?l 表示引入符号?,称为左矢微观体系的一个量子态 y 也可用y?表示, 但在同一表象中?y 与y?的分量互为共轭复数??,,,, **2 *1naaa??y (5) y?的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后, 任意两个态矢??BA, 的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和??????? n nnnnbababaAB ***11|??(6) 3 这里*||?????BAAB??l|,|n 仍为抽象的本征矢 基矢的狄拉克符号表示 离散谱力学量完全集的本征函数?? nu 具有离散的本征值?? nQ 时,对应的本征矢???n|,2|,1|?或?nlm | 等,构成正交归一化的完全系,可以作为矢量空间的基矢,作为基矢可表示为????????????????? 0 0 11|????????????????? 0 1 02| ……?????????????????????0 1 0|n 第n行(7) (1)基矢具有正交归一性 mnnmd???| (8) (2 )展开定理???? n nna||y (9) 两边同时左乘|m?得????????? n mmn nn naanmamdy|| ( 10) 说明展开系数是态矢在基矢上的分量(3 )封闭性把??? y|na n 代入?y| 中得,?????? yy|||nn n 所以1||???? nn n ( 11) 称为基矢的封闭性※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 连续谱当力学量本征值构成连续谱 l 时,对应的基矢记为???l| (1)正交归一性|lldll ??????( 12) (2 )展开定理??????lly lda|| ( 13)??? yl l|a ( 14) (3 )封闭性1||???? llld ( 15) 4 注意:????l|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢,例如??x| 只表示本征值为 x ?的力学量x 的本征矢,而具体的基矢形式为: x 表象中|xxxuxx ???????d ,动量表象中 px ipexuxp ??????? 2/12 1|p ,同理|xunx n???|punp n???1|???nn,,|jqyrnlm x nlm??? px iepx ?? 2/12 1|p ??? 态矢在基矢下的形式 离散谱基矢为???n| ,态矢记为