函数单调性的判断或证明方法.doc

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函数单调性的判断或证明方法.
定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形〔合并同类项、通分、分解因式、配方等〕向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
那么f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
当a<0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
；在上为减函数。〔增两端，减中间〕
证明：设，那么
因为，所以,
所以，
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所以
所以
设
那么，
因为，
所以，
所以
所以
同理，可得
运算性质法.
①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．〔增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减〕
②假设.
③当函数.
④函数二者有相反的单调性。
⑤运用结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
〔3〕。
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