函数单调性判断或证明方法.doc

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函数单调性的判断或证明方法.
定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形〔合并同类项、通分、分解因式、配方等〕向有利于判断差值符号-
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函数单调性的判断或证明方法.
定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形〔合并同类项、通分、分解因式、配方等〕向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<*1<*2，
则f(*1)－f(*2)＝－
＝
＝
∵－1<*1<*2，
∴*1－*2<0，*1＋1>0，*2＋1>0.
∴当a>0时，f(*1)－f(*2)<0， 即f(*1)<f(*2)，
∴函数y＝f(*)在(－1，＋∞)上单调递增．
当a<0时，f(*1)－f(*2)>0， 即f(*1)>f(*2)，
∴函数y＝f(*)在(－1，＋∞)上单调递减．
；在上为减函数。〔增两端，减中间〕
证明：设，则
因为，所以,
所以，
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所以
所以
设
则，
因为，
所以，
所以
所以
同理，可得
运算性质法.
①在公共定义域，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．〔增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减〕
②假设.
③当函数.
④函数二者有相反的单调性。
⑤运用结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
〔3〕。
。
解：
在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
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减区间为.
〔4〕复合函数法.〔步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤假设集合是层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；假设不是层函数的一个单调区间，则需把划分成层函数的假设干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.〕
设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由"同增异减〞来确定，即"里外〞函数增减性一样，复合函数为增函数，"里外〞函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：



增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增

解 原函数是由外层函数和层函数复合而成的；
易知是外层函数的单调增区间；
令，解得的取值围为；
由于是层函数的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；
根据复合函数"同增异减〞的复合原则知，是原函数的单调减区间。
例5 求函