2022年天一专升本高数知识点.doc

第一讲 函数、极限、持续
1、基本初等函数定义域、值域、图像，特别是图像包括了函数所有信息。
2、函数性质，奇偶性、有界性
奇函数：，图像关于原点对称。
偶函数：，图像关于y轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶比较
设是自变量同一变化过程中两个无穷小量，则
（1）若，则是比高阶无穷小量。
（2）若（不为0），则与是同阶无穷小量
特别地，若，则与是等价无穷小量
（3）若，则与是低阶无穷小量
记忆办法：看谁趋向于0速度快，谁就趋向于0本领高。
4、两个重要极限
（1）
用法：拼凑 ，一定保证拼凑sin背面和分母保持一致
（2）

用法1背面一定是一种无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、
最高次幂是n,最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁次幂高，谁头大，趋向于无穷大速度快。,以相似比例趋向于无穷大；，分母以更迅速度趋向于无穷大；，分子以更迅速度趋向于无穷大。
7、左右极限
左极限：
右极限：
注：此条件重要应用在分段函数分段点处极限求解。
8、持续、间断
持续定义：
或
间断：使得持续定义无法成立三种状况

记忆办法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等
9、间断点类型
（1）、第二类间断点：、至少有一种不存在
（2）、第一类间断点：、都存在
注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一种不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”
10、闭区间上持续函数性质
最值定理：如果在上持续，则在上必有最大值最小值。
零点定理：如果在上持续，且，则在内至少存在一点，使得


第三讲 中值定理及导数应用
罗尔定理
如果函数满足：（1）在闭区间上持续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3），则在(a,b)内至少存在一点，使得
b
记忆办法：脑海里记着一幅图：
拉格朗日定理
如果满足（1）在闭区间上持续
（2）在开区间（a,b）内可导；
则在(a,b)内至少存在一点，使得
脑海里记着一幅图：

（*）推论1 ：如果函数在闭区间上持续，在开区间（a,b）内可导，且，那么在内=C恒为常数。
记忆办法：只有常量函数在每一点切线斜率都为0。
（*）推论2：如果在上持续，在开区间内可导，且，那么

记忆办法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
驻点
满足点，称为函数驻点。
几何意义：切线斜率为0点，过此点切线为水平线
4、极值概念
设在点某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点x,有，则称为函数极大值，称为极大值点。
设在点某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点x,有，则称为函数极小值，称为极小值点。
记忆办法：在图像上，波峰顶点为极大值，波谷谷底为极小值。
拐点概念
持续曲线上，凸曲线弧与凹曲线弧分界点，称为曲线拐点。
注在原点即
是拐点
单调性鉴定定理
设在内可导，如果，则在内单调增长；
如果，则在内单调减少。
记忆办法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合，是单调增长，；
在图像上凡是和左手向上趋势吻合，是单调减少，；
获得极值必要条件
可导函数在点处获得极值必要条件是
获得极值充分条件
第一充分条件：
设在点某空心邻域内可导，且在处持续，则
如果时，；,那么在处获得极大值；
如果时，；，那么在处获得极小值；
如果在点两侧，同号，那么在处没有获得极值；

记忆办法：在脑海里只需记三副图，波峰顶点为极大值，波谷谷底为极小值。
第二充分条件：
设函数在点某邻域内具备一阶、二阶导数，且，
则 （1）如果，那么在处获得极大值；
（2）如果，那么在处获得极小值
凹凸性鉴定
设函数在内具备二阶导数，（1）如果，那么曲线在内凹；（2）如果，那么在内凸。
图像体现：
凹体现 凸体现
渐近线概念
曲线在伸向无穷远处时，可以逐渐逼近直线，称为曲线渐近线。
水平渐近线：若,则有