矩阵等价与向量组等价的关系.docx

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矩阵等价与向量组等价的关系
向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：
矩阵等价 （必须含有相同的行数m，相同的列数n，即必为同型矩阵）
矩阵的等价与向量组的等价没有任何必然的联系！
如果两个n维向量组等价(说明矩阵有相同的行数),则以它们为列向量组成的矩阵A,B的秩相等,但是不一定等价,,一个3行1列的矩阵与一个3行2列的矩阵根本谈不上等价与不等价.（如果A,B的列数相同,则它们等价）例如向量组I：与向量组II：等价，但变为矩阵就不等价。
两向量组等价是指两向量组可以互相线性表示，应注意两向量组等价他们所含向量个数可以不一样的！！！
但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数！！！
如果矩阵A,B等价,,4阶单位矩阵从中间划一竖线分成两个矩阵A,B,这两个矩阵是等价的,但是它们的列向量组不是等价的.
看一个具体的例子：
矩阵经初等行变换化为矩阵，矩阵行等价，的行向量组等价，但列向量组不等价！
矩阵B经初等列变换化为矩阵C，矩阵列等价，的列向量组等价，但行向量组不等价！
矩阵经初等变换（包含行变换和列变换）化为矩阵C，矩阵A,C等价，但他们的行、列向量组均不等价！
所以，矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！
显然，两矩阵等价，不能推出他们的行向量组一定等价或者列向量组一定等价。
在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？
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若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为     （α1，α2，…，αn）Q =（β1，β2，…，βn），此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，