伴生圆锥曲线的切线方程.pdf

收稿日期:2004-09-21 作者简介:郑芸(1964)),女,浙江舟山人,浙江海洋学院信息学院高级讲师,主要从事数学和计算方法方面的研究. 山西师范大学学报(自然科学版) 第19卷第2期 JournalofShanxiTeachercsUniversity 2005年6月 NaturalScienceEdition June2005 文章编号:1009-4490(2005)02-0108-03 关于/伴生圆锥曲线0的切线方程郑芸(浙江海洋学院信息学院,浙江舟山316000) 摘要:直线被圆锥曲线截得弦的中点问题,,演算冗繁,计算量大,本文从理论上揭示圆锥曲线弦的中点本质特性出发,对/伴生圆锥曲线0的切线方程和/伴生圆锥曲线0与弦长关系进行探究从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法. 关键词:圆锥曲线;伴生圆锥曲线;直线参数方程;切线方程;圆锥曲线弦长中图分类号: 文献标识码:A 众所周知,求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题,一直为人们重视和关注,文[1)3]等都作过研究, ,揭示圆锥曲线弦的中点本质特性,为解这类问题提供清晰、简捷解法. 定理1过非圆锥曲线中心的定点p(h,k)的动直线被圆锥曲线f(x,y)=Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey +F=0所截得的弦的中点轨迹方程,仍是一个与 f(x,y)=0同类型的圆锥曲线. 证明:设过截弦中点M(x 0,y 0)的直线l的参数方程为: x=x 0+tcosH y=y 0+tsinH 将l代入f(x,y)=0整理得(Acos 2H+Bsin 2HcosH+Csin 2H)t 2+[(2Ax 0+ By 0+D)cosH+(Bx 0+2Cy 0+E)sinH]t+ f(x 0,y 0)=0 (1) 因M为截弦中点,由参数r的几何意义知 t 1+t 2=0 即(2Ax 0+By 0+D)cosH+(Bx 0+2Cy 0+E)# sinH=0 (1)当HX P2 时,得 k=tanH=- 2Ax 0+By 0+D Bx 0+2Cy 0+E (?)当定点p(h,k)在截弦上且异于截弦的中点,则有 tanH= y 0-k x 0-h 于是得(x 0-h)(2Ax 0+By 0+D)+(y 0-k)# (Bx 0+2Cy 0+E)=0 (2) (ò)当定点p(h,k)在截弦上又恰好是截弦的中点,则 x 0=h y 0=k 满足方程(2) (2)当H= P2 时,则cosH=0,sinH=1,则截弦方程x 0=h Bx 0+2Cy 0+E=0 满足方程(2) 由上可知方程(2)即为过定点P(h,k)的动弦中点的轨迹方程,将(2)展开整理得 2Ax 20+2Bx 0y 0+2Cy 20-(2Ah+Bk-D)x 0- (Bh+2Ck-E)y 0-(Dh+Ek)=0 (3) 显然方程(3)是关于(x 0,y 0)的二元二次方程,$c=4(B 2-4AC), 而原圆锥曲线f(x,y)=0的判别式$=B 2-4AC, 可见当$=0时,有$c=0,当$X0,$c与$同号. 因而过定点p(h,k)的动弦中点轨迹方程(3)与原圆锥曲线为同类型的圆锥曲线. 这个伴着原圆锥曲线而生的同类