奥数数论基础知识.doc

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奥数数论根底知识
一 质数和合数
〔1〕一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数〔也叫做素数〕。
　　一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
〔2〕自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
〔3〕最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；
最小的合数是4。
〔4〕质数是一个数，是含有两个约数的自然数 。
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互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数〔３和５〕，可能是一个质数和一个合数〔３和４〕，可能是两个合数〔４和９〕或1与另一个自然数。
〔５〕如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
　　把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
〔６〕１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、
２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、
８３、８９、９７　．
二 整除性
〔１〕概念
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　　一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b〔b不等于0〕，除得的商c正好是整数而没有余数〔或者说余数是0〕，我们就说，a能被b整除〔或者说b能整除a〕。记作b｜，称为a不能被b整除，〔或b不能整除a〕，记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
〔２〕性质
性质1：〔整除的加减性〕如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
　　即：如果c｜a，c｜b，那么c｜〔a±b〕。
　　例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜〔10＋6〕，并且2｜〔10—6〕。
也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.
　　　　即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
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性质3：〔整除的互质可积性〕如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
　　即：如果b｜a，c｜a，且〔b，c〕=1，那么bc｜a。
　　例如：如果2｜28，7｜28，且〔2，7〕=1,
　　那么〔2×7〕｜28。
性质4：〔整除的传递性〕如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
　　即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
　　例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
〔３〕数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。突破口
③能被3〔或9〕整除的数的特征：各个数位数字之和能被3〔或9〕整除。
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判断能被3〔或9〕整除的数还可以用“弃３〔或９〕法〞：
例如：８３５１７４６能被９整除么？　
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在数字中只剩７，７不是９的倍数，所以８３５１７４６不能被９整除。
④能被4〔或25〕整除的数的特征：末两位数能被4〔或25〕整除。
⑤能被8〔或125〕整除的数的特征：末三位数能被8〔或125〕整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差〔大减小〕是11的倍数。
⑦能被7〔11或13〕整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差〔以大减小〕能被7〔11或13〕整除，依此反复检验。
例如：判断3546725能否被13整除？
　　解：-725=，因为821
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—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.
上述方法也可以用来判断余数和末位数；
对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。
三 约数与倍数
〔１〕公约数和最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：４是１２和１６的最大公约数，可记做：〔１２　，１６〕＝４
〔２〕公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
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