内切球和外接球例题.docx

d3 高考数学中的内切球和外接球问
2
一、直接法（公式法）
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
27
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为
24 ,则该球的体积为 . 43 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （ 2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个 顶点
上的三条棱长分别为 123 ,则此球的表面积为 .14 .
例4、（ 2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体
积为16,则这个球的表面积为（ ）.C.
A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
3, 求多面体的外接球的有关问题
，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的
9顶点都在同一个球面上，且该六棱
柱的体积为 8 ,底面周长为3 ,则这个球的体
积为.
解 设正六棱柱的底面边长为 X ,高为h ,则有
1
X ,
1
一、…、…一一一 h 5^ 「
.二正六棱柱的底面圆的半 , 2 ,球心到底面的
径 ’
6x3, 距离 .，外接球的半 " 93 % x?h
84 径 '
4 v球 ,3
二、构造法（补形法）
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3 ,则其外接球的表面积是 . 9
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，，把这个三棱 锥可以补成
9
一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 4 .谩翼外接球
外接球
的半径为 R,则有2R 2 3 3 3 9 R
2的表面积S4 R2 9
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a、b、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体对角线的长
222就是该三 棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 R ,“墙角”结构禾f] 用补形知识，联系长方体。
【例题】：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
,若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球
的直径为的长即：
所以球的表面积为
例6. 一个四面体的所有棱长都为
2 ,四个顶点在同一球面上，则此球的表
DA=AB=BC= 3 ,则球O的体积等于
AB=AD=AE=BD=DE BE
2,由此可求得正方体的棱长为
1,体对角线

面积为（）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6解析：一般解法，需设由球心，作由高线，构造直角三角形， 再计算球的半 ，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的 线段，所 以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体 A BDE满足条件, 即
为3 ,从而外接球的直径也为 3 ,所以此球的表面积便可求得，故选
模型很快便可找到球的直径， 由于DA平面ABC , AB BC ,联想长方体 中的相应线段关系，
构造长方体， 又因为DA=AB=BC= 3 ，则此长方体为正方 体，所以CD长