尺规作图五点定椭圆的方法.doc

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尺规作图五点定椭圆的方法
徐文平
（东南大学 210096）
摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。
椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。
一、引言
在几何画板和cad软件中， 任意五个点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。
第一步，通过五点寻找椭圆圆心
第二步，确定椭圆坐标x、y主轴方向
第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b
 1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。
如图1，椭圆接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。
 2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK， JA、BK交于E点，、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。
证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。
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定理2：圆锥曲线 的接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。
命题3（高斯定理）：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。
图 3
二、通过五点寻找椭圆圆心
原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。
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图 4
问题1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线PQ的切线极点如何办？
切线方法：帕斯卡定理（五点 + 一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线。
图 5
命题4：已知椭圆上P、H、G、Q、A五点，利用椭圆接四边形PQGH确定对角线PQ和GH交叉点T，可绘制极点T的极线E F，利用椭圆接四边形PQAB(H)确定对角线PQ和AB(H)交叉S点（利用帕斯卡定理，新构造椭圆第六点B点，替换H点），绘制极点S的极线MN，极线MN和极线EF交于C点，C点即为PQ割线的极点。
证明：依据极点极线的对偶定理，由于 S、T为PQ极线上的二点，可可知S、T极点的极线MN和极线EF相交于C点就是PQ的极点，连线PC、QC就是椭圆的切线。
（该方法也适合于双曲线和抛物线的情况）
问题2：椭圆上五点有时候似乎不够啊，如何构造椭圆上的临时第六点啊。
命题5：运用帕斯卡原理，通过椭圆上五点，可以增加椭圆上一点。
Pascal’s定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给1, 2, 3, 4, 5五点，其中任意三点不在同一直线上（特例将在后面讨论），但五点的平面位置为任意。我们将这五点依次相连，并设线段12与45的交点为L。
为了构作圆锥曲线上的任意一点，如点6，我们通过点1任意作一直线a，设a与线段34交于点N，再通过L和N作直线b，设b与a交于M，图74-3；再通过5和M作直线c，则c与a的交点就是期望的第六点6
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命题6：利用侯明辉三割线定理加上阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多椭圆点。
在尺规作图五点定椭圆中，已知椭圆上五点（不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆心，也不知道椭圆的xy坐标主轴情况下），需要构造其他的椭圆点。
即A、B、C三点已经知道（还有其他二点知道），采用其他办法作出AB割线的极点N，利用侯明辉三割线定理以及调和分割性质确定新的椭圆点 E点
方法：连接线段交AB线段于M点，取线段MN中点J为圆心，画圆直径为MN，过C点作MN的垂直线交圆于F点，过F点作切线（或者是作垂直JF的线段EF），交MN于E点，则构成调和分割的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点用途。
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图 7
工程应用实例：（是用5点定圆心的，没有构造第六点方法）
图 8
三、确定椭圆坐标主轴方向
目标：通过已知的椭圆圆心和椭圆上三点，寻找椭圆坐标主轴方向。
图 9
原理：利用椭圆圆心，构造二条共轭直径，然后确定椭圆坐标主轴方向
方法：利用椭圆圆心，首先构造一条共