尺规作图五点定椭圆的方法.docx

尺规作图五点定椭圆的方法
尺规作图五点定椭圆的方法
徐文平
（东南大学 南京210096）
摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。
椭圆在开普勒行c，则c与a的交点就是期望的第六点6
命题6：利用侯明辉三割线定理加上阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多椭圆点。
在尺规作图五点定椭圆中，已知椭圆上五点（不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆心，也不知道椭圆的xy坐标主轴情况下），需要构造其他的椭圆点。
即A、B、C三点已经知道（还有其他二点知道），采用其他办法作出AB割线的极点N，利用侯明辉三割线定理以及调和分割性质确定新的椭圆点 E点
方法：连接CN线段交AB线段于M点，取线段MN中点J为圆心，画圆直径为MN，过
C点作MN的垂直线交圆于F点，过F点作切线（或者是作垂直JF的线段EF），交MN于E点，则构成调和分割的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点用途。
图 7
工程应用实例：（是用5点定圆心的，没有构造第六点方法）
图 8
三、确定椭圆坐标主轴方向
目标：通过已知的椭圆圆心和椭圆上三点，寻找椭圆坐标主轴方向。
图 9
原理：利用椭圆圆心，构造二条共轭直径，然后确定椭圆坐标主轴方向
方法：利用椭圆圆心，首先构造一条共轭直径，作图共轭直径端点的切线方向（确定另外一条共轭直径的方向），作平行线通过构筑一条椭圆共轭弦，采用仿射几何方法转换为二条共轭直径。
作AB割线的切线极点N
图 10
作AF共轭直径(连接OA)，作CL共轭弦(平行AN)

图 11
仿射几何构筑OE共轭半径
图 12
方法：作直径为AF的圆，过N点作MN垂直AF，作三角形ΔMNL.
作KO垂直AF，过K点作MLDE 平行线，KE和OE延伸交于E点。
依据仿射原理，可知，OE为椭圆的共轭半径。
构筑椭圆坐标主轴方向
图 13
方法：绕椭圆圆心O点，OE旋转90度，获得N点，
连接NA连线，获得NA中点K
K点为圆心，作任意半径的圆，与KO交于W点，与NA交于H、G点。.
则WC为长轴方向，HW为短轴方向，完成椭圆坐标主轴方向确定。
证明：分析OK线段的斜率与NA线段的斜率的关系
（1）共轭直径的性质
图 14
如果，点，椭圆共轭直径推理，则有，
对于点C分析，则有： ，
（2）共轭直径的椭心角为90°
简单分析可以得到，∠C1OA1＝90°
图 15
（3）共轭半径旋转90°
图 16
分析可以得知：，，
C点绕原点旋转90°，则：，
（4）图形分析研究
图 17
问题1：延伸连线NK，与坐标轴交于U、V两点。要构筑椭圆坐标主轴方向的方法成立，只需证明θ1∠VOA1＝∠VOK=∠OVU=θ1，即证明ΔOKV和ΔONU是等腰三角形，命题就成立。
现在，∠VOK=θ1 已经成立
，
由于： ，
则： 坐标，可以化为
分析NA线段的斜率：
则： ， 等腰三角形图形成立，命题成立。
问题2：K点为OA1与NA线段的交点，是不是位于NA线段的中点啊。
假如K为NA线段的中点，分析K、A1、O三点共线，就ok
K点坐标，
对于OK线段分析斜率：
，斜率相同，命题成立。
四、确定椭圆长轴a和短轴b
目标：已知椭圆心和坐标轴、已知椭圆上二点，确定椭圆长轴a和短轴b
原理：运用极点和极线关系，构造自配极三角形，确定椭圆长轴和短轴位置。
方法：利用椭圆上二点构造轴对称二点，构成椭圆内接四边形，连接对角线，获得交叉点和对边交叉点，运用二个极点的数学关系，完成长轴和短轴位置。
1）构造自配极三角形，寻找二个对偶极点
图 18
E点为B点的轴对称点，N点为x轴与AE的交叉点
令 ，
极点极线关系方程分析得知：
（类似椭圆准线方程）
2）确定长轴a位置
连线QN， K为QN中点，以K圆心半径为KN画圆，过O点作圆K的切线E，以OE为半径原点O为圆心作一个圆，与 x轴交于F点，F点即为长轴a
图 19
3）确定长轴b位置
利用切线方法，构造割线AB的极点N点，过N点作水平线交y轴于G点，延伸割线AB与y轴交于P点，连线PG， K为PG中点，以K圆心半径为KP画圆，过O点作圆K的切线