外接球问题典型例题.docx

在三棱柱 ABC Ai B1C1中，已知 AAi平面 ABC, AAi 2,BC 2 3, BAC ,止匕2
三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）
32 25 31
A. 田..166 C . D.
33 2
知识点】线 面 垂直的 性质;球内接多面体；球 体积的公式
答案解析】 A解析：解：直三棱
ABC Ai Bi Ci的各顶点都
在同一球面上，（如图），
「 ABC中，?BAC p, ••・下底面 ABC的外心P为BC的中点，2 同理，可得上底面 AiBiCi的外心 Q为BiCi的中点，
连接PQ,则PQ与侧棱平行，所以 PQL平面 ABC
再取PQ中点O,可得：点。至U A,B,C,Ai,Bi,Ci的距离相等,
・•. O点是三棱柱ABC A i Bi Ci外接球的
ii
「 RT POB 中，BP = BC= 3 , PQ= AAi =i ,
・•. OB= BP2
+PO2 =2,即外接球半径R= 2 ,
因此，三棱柱
V=4pR3=4p23 = 32p
ABC Ai Bi Ci外接球的球的体积为:
i i i 3 3 3
【思路点拨】
根据 题意并 结合空间线面垂 直的性
质，可得二棱柱
ABC AiBiCi 外接
球的球心是上下底面斜边中点的连线段
RT POB中，利用勾
股定理算由OB的长，即得外接球半径
R的大小，再 用球的体积公式即可算由所 求外接球的体
积.
四面体 ABCD 中，已知 AB=CD= 29 , AC=BD= 34 , AD=BC= 37 ,则四面体 ABCD 的
外接球的表面积（）
A. 25 B. 45 C. 50 D . 100
【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.
【答案解析】 C解析：解：由 题意 可采用 割补法，考虑 到四面体 ABCD的四 个面为
全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以29, 34, 37为三边的三角形作为底面，
且以分别x, y, z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、
高 分别为 x, y, z 的长方 体，并 且 x2+y2=29 , x2+z2=34, y2+z2=37 ,则有 （2R）
25
2 =x 2 +y 2 +z 2 =50 （ R为 球的半 径），得 R2=,所 以 球的表 面积为 S=4 tR2 =
2
选：C.
【思路点拨】将 四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后 求解外接球的表面积.
已知正四面体的棱长为 2,则它的外接球的表面积的值为
【知识点】球内接多面体.
【答案解析】 3p解析：解：正 四面体 扩展为 正方体，它们 的外接球 是同一 个球， 正方 体的 对角线 长就是球 的直径，正方 体的棱 长为：1;对 角线长 为：3, .•・棱长为2的正 四面体的外接球半径为3 .
2
据32
所 以外接 球的表 面积为4p琪琪 =3p ,故答案为3p .
【思路点拨】正 四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长 就是 球的直 径，求由 直径即 可求生 外接球 半径，可 求外接 球的表 面积.
已知正三棱锥 P ABC,点P, A, B, C都在半径为 3的求面上，若 PA, PB, PC两两互
相垂直，则球心到截面 ABC的距离为
运算求解能力以
【点评】 本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、
及转化思想，该题灵活性较强,
难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到
条件中的垂直关系，把三棱
，如图，可知 中,
,又因为平面
平面
,所以球心就是的中点,
半径为，所以球的体积为:
折成
平面四边
谈的体积为
中，,,四面体,使平面 平面 上，则该
,若四面体
()
,将其沿对角线
的顶点在同一个球 面
A)
B)
C)
D)
俯视图是一个等腰直角三角 形，
)2= .故选：A
4
A. 81 B . 16 C . 9 D
4
2,
一个几何体的三视图如图所
示，则该几何体的外接球的表
其中正视图是一个正三角形,
R2= (4-R) 2+( ) 2,，R=，，球的表面积为 4 t?(
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为
4,底面边长为 2,