一个线性代数(矩阵)证明题-矩阵A乘以矩阵A的转置,矩阵A的转置乘以A,他们特征值相同.doc

一个线性代数(矩阵)证明题-矩阵A乘以矩阵A的转置,矩阵A的转置乘以A,他们特征值相同.docA为nxm实矩阵，如何证明a A和A a的非零特征值相同?
证明方法1 （侯鑫）：
丈柘its U 韦入
\ 7 1^ *1 /（乙# q Ql r y J K
＞粮B屮A危井強旳忆他®帀
同理可证AA的特征值也是AA的特征值
证明方法2 （sugar）：
From the SVD A = U£Vf, we see that
A A7 = UDiU;\ D[ = £迟厂=Di昭（rrf 存;0「…（）） （*）
* v *
»n —卩 z^ros
A7 A = VD2V7\ D2 = S7 X = DiRg（（rf……（i； 0 0） （**）
n — p zeros
所以，由于u和v是酉矩阵，所以-2, •• p是aat的特征值，也是Aa的特征值。
注意，如果A是方阵，那么A的奇异值匚1，•• p不一定是A的特征值。如果A可对角化，但是不是正交对角化，A的奇异值匚1，•• p
也不一定是A的特征值（可以用matlab试验下）。只有当A可正交对角化时，A的奇异值二i，•• p才是A的各个特征值的绝对值（因
为矩阵的奇异值均定义为正值）
€ 的秩rank 4 = r,则存住m阶曲知阵F和n 阶西矩阵 S 使 A = VSot/\M 中几 J" °] 二 diag（M，M，
…/「），“[ M…＞0.
本截图来自熊洪允《应用数学基础》 。
"证明（1）构造＜/・
因为？！是mx n矩阵，所以/TA 阶止定或半正定的Halite 矩阵•又因为rank（AH4） = nuik A ”①，所以屮4 fi r个正特征值，不 妨设为入Q…二兀＞0,而入和=…二九=0是刖4的n - r个零特征. 值碎设……心 分别足"A的对应于特征值右，…人 的标准1E交 特征向星、于星b = [ut… 叫]是«阶四知阵.
若记 U 二[叭…«J, （/； = ： «Ftl …叭]'则 u - [ ux fA]-
（2）构造职
⑴ 貝需ifl： Az"与AmAx = 0同琳（从血解宁间维歡相同用亠HA）二n-仃儿显 熬■山=0的解都足4hAx = ，若工是初& "＜ Ax. Ax ＞三 別f Ar =0,即Ar"*所以x也是Ar “的燃.
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邢,* 广*上娅阵艮斗抚用 • 213 •
令 Pi 二 J= diag(“i ・“2则 S 町逆，冃
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(3)构适"・
作矩阵匕二人"£」€ “气并将其按列分块为纥=5 一