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方案型应用题
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方案型应用题
2006 年中考复分线
知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：
【例题】如图，已知在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ B＝ 300，AB 的垂直平分线 EF 交 AB
于点 E，交 BC 于点 F，求证： CF＝2BF。
分析一： 要证明 CF＝ 2BF，由于 BF 与 CF 没有直接联系，联想题设中 EF 是中垂线，
根据其性质可连结 AF ，则 BF＝ AF 。问题转化为证 CF＝2AF ，又∠ B ＝∠ C＝ 300，这就等
价于要证∠ CAF ＝ 900，则根据含 300 角的直角三角形的性质可得 CF＝2AF ＝ 2BF。
分析二： 要证明 CF＝ 2BF，联想∠ B＝ 300， EF 是 AB 的中垂线，可过点 A 作 AG ∥
EF 交 FC 于 G 后，得到含 300 角的 Rt△ ABG ，且 EF 是 Rt△ ABG 的中位线，因此 BG＝ 2BF ＝ 2AG ，再设法证明 AG ＝ GC，即有 BF＝ FG＝ GC。
A A
E E
B F C B F G C
例题图 1 例题图 2
分析三： 由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作 AD ⊥BC 于 D，则 BD ＝ CD，
0
考虑到∠ B ＝30 ，不妨设 EF＝ 1，再用勾股定理计算便可得证。
E
A
A
E
1 2
3
B
FD
C
B
DC
问题图
例题图 3
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
三角形内角平分线性质定理： 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的
两边对应成比例。如图，△
ABC 中， AD 是角平分线。求证：
BD
AB
DC
。
分析： 要证 BD
AB ，一般只要证
AC
BD、DC 与 AB、AC 或 BD 、AB 与 DC、AC
DC
AC
所在三角形相似，现在
B 、D 、C 在同一条直线上，△ ABD 与△ ADC 不相似，需要考虑用
别的方法换比。我们注意到在比例式
BD
AB
DC
中， AC 恰好是 BD 、DC 、 AB 的第四比
AC
例项，所以考虑过 C 作 CE ∥AD 交 BA 的延长线于 E，从而得到 BD 、 CD、AB 的第四比
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例项 AE ，这样，证明
BD
AB
AE ＝AC 。
DC
就可以转化为证
AC
证明：过 C 作 CE∥AD
交 BA 的延长线于 E
1
2
CE∥ AD
2
3
∠E＝∠3
AE ＝AC
1
E
CE∥ AD
BD
AB
DC
AE