同济大学数学系学习教案.ppt

会计学
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同济大学(tónɡ jì dà xué)数学系
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实内积空间(kōngjiān)
定义(dìngyì).设V 是一个实线性空间，R为实数域，
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若a, b V, 存在(cúnzài)唯一的 rR与之对应，
记作(a, b ) = r, 并且满足
(1) (a, b ) = (b, a )
(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )
(3) (ka, b ) = k(a, b )
(4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0  a = 0
则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为实内积空间。
实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。
对称性
线性性
非负性
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定义(dìngyì)内积
例. 线性空间
称为内积空间 的标准内积。
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定义(dìngyì)内积
A为 n 阶实正定(zhènɡ dìnɡ)矩阵，
例. 线性空间
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定义(dìngyì)内积
例. 线性空间(kōngjiān)C[a, b]，f , g∈C[a, b]
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由定义(dìngyì)知
(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g )
(6) (a, kb ) = k(a, b )
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向量(xiàngliàng)长度, Cauchy-Schwarz不等式
定义. 设V 为实内积空间，称 为向量a 的长度，
记作 ||a ||。
定理(dìnglǐ). 设V 是实内积空间，a , b V , k R ，则
等号成立(chénglì)当且仅当a , b 线性相关；
Cauchy-Schwarz
不等式
三角不等式
正定性
齐次性
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例：利用(lìyòng)Cauchy-Schwaz不等式证明
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向量(xiàngliàng)的夹角
由Cauchy-Schwaz不等式可知(kě zhī)
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向量(xiàngliàng)的正交
定义(dìngyì). 设V 是实内积空间，a , b V ,
若 (a , b ) = 0 , 则称 a 与b 正交，记作 a b 。
a 与b 正交
这就是(jiùshì)实内积空间中的勾股定理。
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