理论力学陈世民答案打印稿.doc

第零章数学准备一泰勒展开式 1 二项式的展开?????????? m 2 3 m m-1 m m-1 m-2 f x 1 x 1 mx+ x x 2 3 ? ??? ???!! 2 一般函数的展开???????????????? 2 3 0 0 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x x-x x-x x-x 1 2 3! ? ?????? ? ????!! 特别:00x?时,?????????? 2 3 f 0 f 0 f 0 f x f 0 1 2 3! x x x ? ?????? ?????!! 3 二元函数的展开(x=y=0 处)???? 0 0 f f f x y f 0 x+ y x y ? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?, 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 1 f f f x 2 xy+ y 2 x x y y ? ?? ??? ?? ?? ?? ???? ??! 评注:以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。在理论力问题的简单处理中,一般只需近似到三阶以内。二常微分方程 1 一阶非齐次常微分方程: ???? x x y+P y=Q 通解: ?????? P x dx P x dx y e c Q x e dx ?? ?? ?? ?? ?? ??注:??????, P x dx P x dx Q x e dx ??? ?积分时不带任意常数, ?? xQ 可为常数。 2 一个特殊二阶微分方程 2 y A y B ?? ???通解: ?? 02B y=Kcos Ax+ A ??注: 0,K?为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程?? x y ay by f ? ???? ?通解: * y y y ? ?;y 为对应齐次方程的特解, *y 为非齐次方程的一个特解。非齐次方程的一个特解(1) 对应齐次方程 0 y ay by ? ???? ?设x y e ??得特征方程 2 a b 0 ? ?? ??。解出特解为 1?,2?。*若 1 2 R ? ?? ?则 1x1 y e ??, 2x2 y e ??; 1 2 x x 1 2 y c e c e ? ?? ?*若 1 2 R ? ?? ?则 1x1 y e ??, 1x2 y xe ??; 1x 1 2 y e (c xc ) ?? ?*若12i ? ??? ?则? x1 y e cos x ???,? x2 y e sin x ???; x 1 2 y e (c cos x c sin x) ?? ?? ?(2)若?? 2 0 0 0 x f a x b x c ? ??为二次多项式* b 0 ?时,可设* 2 y Ax Bx C ? ??* b 0 ?时,可设* 3 2 y Ax Bx Cx D ? ??