三角形五心.doc

三角形五心.doc三角形五心
三角形五心的位置
? 内心：三角形的三条角平分线的交点
? 外心:三角形三边垂直平分线的交点
? 重心:三角形三条中线的交点.
? 垂心:三角形三条高线的交点.
（即内切圆圆心）.
（即外接圆圆心）.
? 旁心：三角形的一条内角平分线与不相邻的两条外角平分线的交点 （即三角形旁切圆圆心）.
三角形三边的中线的交点，
1 1点0为AABC的重心的充要条件是OA + OB-hOC^Q・
L 2向壘AB + AC是肚边中线对应的向量，过厶AB C的重心・
2内心 三角形三内角的平分纯的交点”
2. 1 0为厶ABf•内心的充要条件是」
| BC\ OA^\AC\ OB+\AB\ OC = ^^
上2向量上丝卡三仝是ZEAC”的平分线上的向量，过AABC的内心.# 1^1 MC|
5垂心三垢形三边的高线的交点•」
3•丄 点0为△ ABE垂心的充要条件是；
QA OB = OB ~QC ^OC QA^
向量
AB
j AB | ccsB
\AC\cosC
是BC边的高线上的向量.
过△ABC的垂心・
4外心 三角形三边的中垂线09交点
>A ABC夕心的充要条件是
| OA |=( OB |=|0U|・ 4
4. 2 0为△ AB〔夕hf＞的充要条件是討
(pA + OB) AB = 0B-bOC) BC = (OC + OA) CA=()^
1、重心
三角形三条中线的交点叫做
三角形重心。
定理：设三角形重心为 0,
BC边中点为 D,则有 A0 = 2 0D。
重心坐标为三顶点坐标平均值。
、外心
三角形三边的垂直平分线的交点，称为 三角形外心。
外心到三顶点距离相等。
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这 个圆的内接三角形。
三角形有且只有一个外接圆
外心公式:
3、内心
a = Rd -
= 21 rscfl '
hujit* 恳)
a= d
P~ d
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遷P用扁・y. z K \i
三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是
形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有且只有一个内切圆。
三角形内心
，内心到三角
4、垂心
三