三角形的“四心”.doc

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四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
图2
图1
如图1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，
∽，且相似比为1：2，
.
设AD、CF交于点，同理可得，
则与重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.
三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.
证明 作的内切圆，则分别为内切圆在
三边上的切点，
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为圆的从同一点作的两条切线，，
同理，BD=BF，CD=CE.
即.
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分，
（角平分线性质定理）
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
，即.
同理可得，AB=BC.
为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点，，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如