曲面的
切平面和法线、
光滑曲面
平面曲线的切线与法线
设平面曲线的方程为
,
是其上一定点。在该点的切线斜率为
.
从而曲线过点的切线方程为
,
即，(1)
法线方程为
，(2)
例1、 求笛卡尔叶形线 在点处的切线与法线.
解,
,.
,
得到
切线方程 ,即;
法线方程 ,(1)所示.
图(1)
空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程为
, .
定点,
,
动点
.
动割线的方程为
,
当
时,动点沿曲线无限接近定点,
达到动割线的极限位置: ，(3)
。
过且与切线垂直的平面叫做曲线在点的法平面,其方程为
…… (4)
例2 求螺旋线 在点的切线方程与法平面方程.
解 切向量为,切线方程为 ;
法平面方程为,即
.
图(2)螺旋线的切线与法平面
3 曲面的切平面与法线
设曲面的一般式方程为 ，
是由该方程确定的隐函数，则，.设,
令,,
则曲面在点的切平面方程的法向量可表为
…… (5)
于是切平面的方程为;
法线方程为.
定理 设曲面的一般式方程为 ，,
.设曲线:是曲面上过点的任意一条可微分曲线,,
为在点的切线,则.
证明 因为,,再取
,得 ……①
则为切线的方向向量.①式表示.
图(3)
由该定理可见:曲面在点的切平面恰好是由上过点的所有曲线在点的切线所织成的平面(如图(3)所示).
例3 求椭球面在点的切平面及法线方程.
解 ,
切平面方程为;
法线方程为
.
图(4)
椭球面的切平面
4 求两个曲面的交线的切线方程
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