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函数单调性的判定方法
对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种:
定义法
首先我们给出单调函数的定义。一般地,设f为定义在D上的函数。假如对任何
Xi、X2 D ,当xi X2时,总有
f(x。 f(X2),如此称f为D上的增函数,特别当成立严格不等f(xi) f(X2)
时,称f为D上的严格增函数;
f(Xi) f(X2),如此称f为D上的减函数,特别当成立严格不等式
f(Xi) f(X2)
时,称f为D上的严格减函数。
给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定与证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数
y f(X)在给定区间D上的单调性的一般步骤:
〔i〕设元,任取Xi, X2 D且Xi X2 ;
〔2〕作差 f (x1)f (x2);
〔3〕变形〔普遍是因式分解和配方〕;
〔4〕断号〔即判断f(xj f(X2)差与0的大小〕;
〔5〕定论〔即指出函数 f(x)在给定的区间D上的单调性〕。
f (x) x3 a(a ~)在(,)上是减函数。
证明:设X1, X2 (,),且X1 x2,如止匕
f(xi) f (X2) x3 a ( x3 a) x3 x3 (X2 Xi)(x12 x2 X1X2).
由于Xi2 X2
X1X2
(Xi
X2 2 3 2
—) X2
2 4
0, x2 xi
如此f(X1)
f(X2)
Xi)(Xi2 X2
XX2) 0 ,
即 f(Xi)
f (X2),所以 f (X)在
上是减函数。
k
f (x) x - (k 0)在(0,)上的单调性。
X
证明:设Xi、
X2
(0,),且 Xi
X2 ,如此
f(Xi) f(X2) (Xi
Xi
k
(X2 ) (X
X2
X2)(― Xi
-) X2
(Xi X2) k(过
XiX2
(Xi
X2)
kJ
XiX2
X2、 /
—)(Xi
X2)(
Xi X2
XiX2
k),
又0 xi
X2
所以Xi X2
xix2 0 ,
当 Xi、X2
(0,Jkj 时 XiX2 k
f(Xi) f(X2)
0,此时函数f(X)为减函数;
当 X1、X2
(Jk,)时为*2 k
f(Xi) f(X2) 0,此时函数f(X)为增函数。
综上函数f (x) X - (k 0)在区间(0,4k]为减函数;在区间(4,)为增函数。 X
此题函数f(x)是一种特殊函数〔对号函数〕,用定义法证明时通常需要进展因
式分解,由于XiX2 k与0的大小关系(k 0)不是明确的,因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比拟适用于那种对于定义域任意两个数 Xi,X2当Xi X2
时,容易得出f(Xi)与f(X2)大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直接的方
法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比拟清晰,但通常过程比拟繁琐。
函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表:
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
次函数
y kx b(k 0)
当k 0时,y在R上是增函数;
当k 0时,y在R上是减函数。
二次史数
2
y ax bx c
(a 0, a,b, c R)
b
当a 0时,x ——时y单调减, 2a
b
x ——时y单调增;
2a
... 一, b
当a 0时,x —时y单调增, 2a
b
x ——时y单倜减。
2a
反比例函数
k
y x
(k R且 k 0 )
当k 0时,y在x 0时单调减,在x 0
时单调减;
当k 0时,y在x 0时单调增,在x 0
时单调增。
指数函数
x
y a
当a 1时,y在R上是增函数;
当0 a 1,时y在R上是减函数。
对数函数
y loga x
当a 1时,y在(0,)上是增函数;
当0 a 1时,y在(0,)上是减函数。
对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论:
⑴.f (x)与f (x) +C单调性一样。〔C为常数〕
⑵.当k 0时,f(x)与kf(x)具有一样的单调性;当k 0时,f(x)与kf(x)具有相反的单调性。
⑶.当f(x)恒不等于零时,f(x)与,具有相反的单调性。
f(x)
⑷.当f(x)、g(x)在D上都是增〔减〕函数时,如此f (x) + g(x)在D上是增〔减〕函
数。
⑸.当f (x)、g(x)在D上都