希尔伯特几何公理.docx

希尔伯特几何公理.docx佛山石门中学 高二（ 2） 邓乐涛
一、符号及一些说明
有三 不同的 象：点，直 ，平面
点用 A,B,C,D⋯⋯来表示；
直 用 a,b,c,d ⋯⋯来表示；
平面用 α, β, γ, δ⋯⋯来表示。
点称 直 几何的元素，点和直 称 平面几何的元素，点、直 和平面称 立体几何的元素
那么点，几何元素之 又有一定的相互关系
① 点 A在直 a 上：
② 点

A在平面

α

上：
③ 直 a 在平面 α 上： ④ 点 B在点 A与点 C之 ： ⑤ 段 AB 与 CD相等：所以我用了 =号）与 相等： ⑥

（直 的每一点都在平面上）
（我自己 定的符号）
（原 是用 号的，不 于我 不常 ，
等等⋯⋯
（ 段，角之 的能在点 面下 出定 ，具体在叙述公理的 候再 ）
在希 伯特几何里面，其 点直 和平面是三个未定 的数学 象，在上面 的最基本的关系也是没有定 的，也就是 用什么来代表 些 西都是可以的，正如希
伯特所 “我 必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、 、面’ ”。最 的 例 子 就 是 解 析 几 何 ： 我 定 点 是 数 (x,y) ， 定 是
，其 在 个定 下，“几何” 已 失去了 “直 ” 的形式了，
因 在 个定 下的几何 形就 成了毫无几何直 的数字了，只是我 方便研究又
将它画在了坐 系中而已。
我 里的关系符号 ， ， 并不来自于集合 ，不要混淆，要再 的是
他 本身没有含 ，我只是借用 来化 述 了。
之，希 伯特几何，就是将直 地几何 言（欧氏几何）抽象成了 言，
我 所有的几何定理都可以用 推理得到。 （其 希 伯特几何就是完 化的欧氏几
何）
公理 I 关 公理
本 公理有八条，是前面所提的点，直 ，平面 三 象之 建立的一种 系：
（ 了方便 述，以后 二、三⋯⋯点的，直 或平面是，都是指不同的点，直 或
平面）
I 1： 于两点

A和

B，恒有一直

a，使得

（存在性）；
I 2： 于两点

A和

B，至多有一直

a，使得

（唯一性）；
（ 于

1,2 ，我 可以 两点确定一直 ）
I 3：一直 上至少有两点，至少有三点不在同一直 上；
I 4： 于不在同一直 的三点

A,B

和

C，恒有一平面 α，使得

；（存在
性） 于任一平面

，恒有一点

A，使得

；
I 5： 于不在同一直 的三点

A,B

和

C，至多有一平面 α，使得

；（唯
一性）
（ 于 4,5 ，我 可以 三点确定一平面）
I 6：若

且

，

；
I 7：若两平面

有一个公共点

A， 他 至少 有一个公共点

B；
I 8：至少有四点不在同一个平面上。
以上。
其 我想用形式 言写出来的，但是 在 上的太 翻 ，而且符号 打，所以
放弃了。
公理 II 序公理
本 公理有四条， 定了“在⋯⋯之 ” 个关系。根据 个概念，直 上的，
平面上的，空 上的点才有 序可言。
II 1： 于点 A,B,C ，如果 ， 点 A,B,C 是直 上不同的三点； ，
也成立；（如 ）
II 2: 于点 恒有一点 ，使得 ；（如上 ）
II 3: 一直 的任意三点中，至多有一点在其他两点 ；
根据上面，我 就可以定 段了：
于直 a 和直 上的两点 A,B；我 把 一点 {A,B} 称 段，用 AB或 BA表示。在 A 和 B 之 的点叫做 段 AB的点；A点和 B点叫做 段 AB的端点 。