希尔伯特几何公理.doc

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希尔伯特几何公理
某某石门中学 高二〔2〕 邓乐涛
一、符号与一些说明
有三组不同的对象：点，直线，平面
点用A,B,C,D……来表示；
直线用a,b,c,d……来表示；
平面用α,β,γ,δ……来表示。
点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素
那么点，几何元素之间又有一定的相互关系
点A在直线a上：A∈a
点A在平面α上：A∈α
直线a在平面α上：a⊂α〔直线的每一点都在平面上〕
点B在点A与点C之间：B∈AC〔我自己规定的符号〕
线段AB与CD相等：AB=CD〔原书是用≡号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号〕
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∠AOB与∠COD相等：∠AOB=∠COD
等等……
〔线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在表示公理的时候再说〕
在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最根本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’〞。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是x,y|Ax+By+C=0，其实在这个定义下，“几何〞已经失去了“直观〞的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。
我这里的关系符号∈，⊂，=并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。
总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言〔欧氏几何〕抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。〔其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何〕
公理I关联公理
本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：〔为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面〕
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I1：对于两点A和B，恒有一直线a，使得A,B∈a〔存在性〕；
I2：对于两点A和B，至多有一直线a，使得A,B∈a〔唯一性〕；
〔对于1,2，我们可以说两点确定一直线〕
I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；
I4：对于不在同一直线的三点A,B和C，恒有一平面α，使得A,B,C∈α；〔存在性〕对于任一平面α，恒有一点A，使得A∈α；
I5：对于不在同一直线的三点A,B和C，至多有一平面α，使得A,B,C∈α；〔唯一性〕
〔对于4,5，我们可以说三点确定一平面〕
I6：假如A,B∈a且A,B∈α，如此a⊂α；
I7：假如两平面α，β有一个公共点A，如此他们至少还有一个公共点B；
I8：至少有四点不在同一个平面上。
以上。
其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。
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公理II顺序公理
本组公理有四条，规定了“在……之间〞这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。
II1：对于点A,B,C，如果B∈AC，如此点A,B,C是直线上不同的三点；这时，B∈CA也成立；〔如图〕
II2: 对于点A,B∈a，恒有一点C∈a，使得B∈AC；〔如上图〕
II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；
根据上面，我们就可以定义线段了：
对于直线a和直线上的两点A,B；我们把这一点对{A,B}称为线段，用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。
II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a，假如a交于线段AB的一点，如此它必定交于线段AC或CB的一点〔如图〕
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以上。
接下来定义射线
先定义同侧：设A,A’,O,B是直线a上的四点，而O在A,B之间，但不在A,A’之间，如此A和A’称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。
那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如与上图关于点O与B同侧的射线我们记为OB〔虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆〕
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公理III合同公理
本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等〞的关系。
III1：对于线段AB和一点A’，恒有一点B’，使得线段AB与线段A’B’相等，记为
AB=A'B'
因为线段与端点的次序无