内切球外接球问题.docx

内切球外接球问题.docx处理球的“内切”“外接”问题
一、球与棱柱的组合体问题：
正方体的内切球：
设正方体的棱长为切的球半径。

a，求（

1）内切球半径；（

2）外接球半径；（

3）与棱相
（1）截面图为正方形

EFGH

的内切圆，得

R

a

；
2
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，
如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R
2a。
2
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图
5，以对角面AA1
作截面图得，圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得RA1O
3a。
2
2.
在球面上
有
四个点P、
A、B、C.
如
图3
图4
果PA、PB、
图5
PC两两互相垂直，且PA
PBPCa,求这个球的表面积是______.
【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】
已知底面边长为a正三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心 O1、O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 AA1和
它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为
a
，则R2
3a，正三棱柱的高为
6
h
2R2
3a，由RtA1D1O中，得
图6
3
2
2
2
R12
3a
R22
3a
3a
5a2，R1
5a
3
3
6
12
12
S:S
R
2:R2
5:1，V:V
2
55:1
1
2
1
2
1
二棱锥的内切、外接球问题
？
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过
点、线、面关系解之。
解：如图 1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长
为a．由图形的对称性知，点 O也是外接球的球心．设内切球
半径为r，外接球半径为 R．
EO2，即R23a
2
在RtBEO中，BO2
BE2
r2，得
3
图1
6
Ra，得R3r
4
【点评】由于正四面体本身的对称性可知， 内切球和外接球的两个球心是重合
的，为正四面体高的四等分点， 即内切球的半径为 h(h为正四面体的高)，且外
4
接球的半径 3h，从而可以通过截面图中RtOBE建立棱长与半径之间的关系。
4
ABC，底面边