2.5矩阵的初等变换与初等方阵.ppt

第五节矩阵的初等变换与初等方阵 1引例)1( 一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组???????????????????????,97963 ,42264 ,42 ,22 4321 4321 4321 4321xxxx xxxx xxxx xxxx 134 2 分析:用消元法解下列方程组的过程. 2? 2 解)( 1B )1()( 2B ? 2? 13 2???????????????????????,97963 ,232 ,22 ,42 4321 4321 4321 4321xxxx xxxx xxxx xxxx 134 22? 1 32?33? 1 4???????????????????????,3433 ,6355 ,0222 ,42 432 432 432 4321xxx xxx xxx xxxx 134 2 3)( 3B)( 4B ??????????????????,3 ,62 ,0 ,42 4 4 432 4321x x xxx xxxx 134 25? 22 1?33? 4 22?????????????????,00 ,3 ,0 ,42 4 432 4321x xxx xxxx 134 2? 32? 4 43 用“回代”的方法求出解: 4 于是解得???????????3 3 4 4 32 31x xx xx. 3 为任意取值其中 x 方程组的解可记作或令, 3cx?,3 3 4 4 3 2 1?????????????????????????????????c c cx x x xx. 为任意常数其中 c ???????????????????????????????3 0 3 40 1 1 1cx即(2) 5 小结: . 2 .始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换(1)交换方程次序; (2)以不等于0的数乘某个方程; (3)一个方程加上另一个方程的 k倍. i j ( 与相互替换) (以 替换) ik? ij (以 替换) ik? i 6 . 由于三种变换都是可逆的,. ji)(A若),(B ?)(B则);(A ji? k?)(A若),(B ji )(A若),(B ik?)(B则);(A ik?)(B则).(A k? ji 7 因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,未知量并未参与运算. 若记??????????????????????97963 42264 41211 21112)(bAB 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方程组( 1)的增广矩阵)的变换. 8 定义 1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:??); 记作两行对调两行(对调 jirrji?,,1??;02 乘以某一行的所有元素以数?k) 记作行乘(第 krki i?,??. 3) 记作行上倍加到第行的对应的元素上去(第倍加到另一行把某一行所有元素的 ji krr ikj k?二、矩阵的初等变换 9定义 2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”). 10