三角函数诱导公式和函数的对称性.doc

三角函数诱导公式和函数的对称性.doc三角函数诱导公式和函数的对称性三角函数的诱导公式我们比较熟悉,但对一些公式所反映的对称性并不熟悉。下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧。一、轴对称定理一如果函数 y=f (x) 满足 f( x+a ) =f( x-a )或f(x) =f( 2a-x ), 函数 y=f (x )的图象关于直线 x=a 对称。证明:设函数 y=f (x )的图象上的任意一点为 P(x,y) ,点 P 关于直线 x=a 的对称点 p( 2a-x ,y) ,显然有 y=f (x)。说明点 p( 2a-x ,y )也在函数的图象上。由点 P 的任意性,说明函数 y=f (x )图象关于直线 x=a 对称。例如:三角函数诱导公式 cos ( 2kπ-x) =cosx ,k∈Z ,函数 y=cos x 的图象对称轴为 x=k π,k∈Z; sin ( 2kπ+π-x) =sinx ,k∈Z, 函数 y=sin x 的图象对称轴为 x=k π+,k∈Z。二、中心对称定理二如果函数 y=f (x) 满足 y=f ( 2a-x ) =-f (x)或=f( a-x ) =-f ( a+x )函数 y=f (x )的图象关于点( a,0 )成中心对称。证明:设函数 y=f (x )的图象上的任意一点为 P(x,y) ,点 P 关于点( a,0 )的对称点 p( 2a-x , -y) 由f( 2a-x ) =-f (x) ,则-y=f ( 2a-x ) 说明点 p( 2a-x , -y )也在函数 y=f (x )的图象上。点 P 的任意性, 说明函数 y=f (x )图象关于点( a,0 )成中心对称。例如: 三角函数诱导公式 sin ( 2kπ-x) =-sinx ,k∈Z 就说明 y=sin x 的函数图象关于点( a,0 )成中心对称;由 cos ( 2kπ+π-x) =-cosx ,k ∈Z ,说明函数 y=cosx 图象关于点( kπ+,0 )成中心对称。应用上述结论就比较容易解决人教版数学必修四教材第 70 页的第 17 题: 1. 用描点法画出函数 y=sinx ,x∈0, 的图象。 2. 如何根据第 1 小题并应用正弦函数的性质得出函数 y=sinx ,x∈0, 2π的图象? 编辑温雪莲