正方体的种折叠法及背会小窍门小口诀.docx

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有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？
解因总面数是 5，不会出现 5个面全部排成一行（列）的情形 .
（1） 当一行（列）面数最多是 4 时，有两种情形（注意对称性），如图）
（2） 当一行（列）面数最多是 3时，剩下的两个面位于这一行 （列）的同一侧有两种不同情形，如图 15-2
b）
3）剩下的两个面位于这一行（列）的异侧有三种不同情形，如图
（4）总数为

当一行（列）的面数最多是 2时，仅一种情形，如图所示
2+2+3+1=8种，即有 8种不同的展开形式 .

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探究正方体的展开图
将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同的图形呢？
要搞清这个问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪开（ 但不要剪
断，六个面要通过边连在一起 ），展成平面，再观察、对比一下不同形状的图形有哪些。
如果不容易找到足够的正方体纸盒，还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用逆向思维，先
猜测正方体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部分剪去，然后沿所画直线直
行折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。这种探究方法虽然有点麻烦，但操作简便易行，快速有
效。事先可多画一些纸板 （六个正方形边与边对齐，任意连接成不同的平面图形 ），经过逐个验证，记录下
所有可以折叠成正方体的图形，再将这些图形分类，总结并寻找出其中的规律。
那么，沿棱剪开展开一个正方体，究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对
位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共 11种。
一、“141型”（共 6种）
特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有 4个正方形（图 1～图6）。
理解：有4个面直线相连，其余 2个面分别在“直线”两旁，位置任意。
二、“231型”与“33型”（共 4种）
特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有 3个正方形（如图 7～图10）。
理解：在“231型”中，“ 3”所在的行（列）必须在中间，“ 2”、“1”所在行（列）分属两边（前后
不分），且“2”与“3”同向，“ 1”可以放在“ 3”的任意一个正方形格旁边，这种情况共有 3种，而“33
型”只有 1种。
三、“222型”（只有 1种）
特点：展开图中，最多只有 2个面直线相连（图 11）。
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评注：⑴将上面 11个图中的任意一个，旋转一定角度或翻过来，看上去都与原图似有不同，但这只是
图形放置的位置或方式不同。实际上，它与原图能够完全重合，不能算作一个独立的新图，而从上面 11个
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图中任取两个，不论怎样操作（旋转、翻折、平移等），它们都不可能完全重合，即彼此是独立的、不同的图形。
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⑵对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图，如果图中含有“一”字型、“型、“田”字型、“凹”字型，就一定不能折成正方体。概括地说，只要不符合上述“