最全的递推数列求通项公式方法.doc

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高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比拟强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
变式:〔2004，全国I，个理22．本小题总分值14分〕
数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
〔I〕求a3, a5；
〔II〕求{ an}的通项公式.
解：，
，即
，
…………
将以上k个式子相加，得
将代入，得
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，
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经检验也适合，
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
例:，，求。
解：
。
变式:〔2004，全国I,理15．〕数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，那么{an}的通项
解：由，得，用此式减去式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
类型3〔其中p，q均为常数，〕。
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解法〔待定系数法〕：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:数列中，，，求.
解：,令，那么,，2为公比的等比数列，那么,所以.
变式:〔2006，,文,14〕
在数列中，假设，那么该数列的通项_______________
〔key:〕
变式:〔2006..〕
数列满足
〔I〕求数列的通项公式；
〔II〕假设数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；
〔Ⅲ〕证明：
〔I〕解：
是以为首项，2为公比的等比数列
即　
〔II〕证法一：
　　　　　　　　　　　　　①
　　　　　②
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②－①，得
即
　 ③－④，得　
即　
是等差数列
证法二：同证法一，得
令得
设下面用数学归纳法证明　
〔1〕当时，等式成立
〔2〕假设当时，那么
这就是说，当时，等式也成立
根据〔1〕和〔2〕，可知对任何都成立
是等差数列
〔III〕证明：
变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．
类型4〔其中p，q均为常数，〕。〔或,其中p，q, r均为常数〕 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列〔其中〕，得：再待定系数法解决。
例:数列中，,，求。
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解：在两边乘以得：
令，那么,解之得：
所以
变式:〔2006，全国I,理22,本小题总分值12分〕
设数列的前项的和，
〔Ⅰ〕求首项与通项；〔Ⅱ〕设，，证明：
解：〔I〕当时，；
当时，，即，利用〔其中p，q均为常数，〕。〔或,其中p，q, r均为常数〕的方法，解之得：
(Ⅱ)将代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)
= ×(2