高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较 强的数列问题中， 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮数列 an 满足 a1 2 ， an 1 n an ，求 an 。 3 n 1 解：由条件知 an 1 n ，分别令 n 1,2,3, , (n 1) ，代入上式得 (n 1) 个等式累乘 an n 1 之，即 a2 a3 a4 an 1 2 3 n 1 an 1 a1 a2 a3 an 1 2 3 4 n a1 n 2 an 2 又 a1 ， 3n 3 例 :已知 a1 3 ， an 1 3n 1 1) ，求 an 。 3n an (n 2 解： an 3(n 1) 1 3( n 2) 1 32131 3(n 1) 2 3(n 2) 2 a1 32232 3n 4 3n 7 5 2 3 6 1 。 3n 1 3n 4 8 5 3n 变式 :（ 2004，全国 I, 理 15．）已知数列 { an} ，满足 a1=1，an a1 2a2 3a3 ( n 1)an 1 (n≥ 2)，则 { an } 的通项 an 1 n 1 ___ n 2 解： 由已知，得 an 1 a1 2a2 3a3 (n 1) an 1 nan ，用此式减去已知式，得 当 n 2时， an 1 an nan ，即 an 1 (n 1)an ，又 a2 a1 1， a1 1, a2 1, a3 3, a4 4, , an n ，将以上 n 个式子相乘，得 an n! ( n 2) a1 a2 a3 an 1 2 类型 3 an 1 pan q （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1) 0) ）。 解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为： an 1 t p(an t) ，其中 t q ，再利用 1 p 换元法 转化为等比数列求解。 例 :已知数列 an 中， a1 1 ， an 1 2an 3 ，求 an . 解：设递推公式 an 1 2an 3 可以转化为 an 1 t 2(an t) 即 an 1 2an t t 3 . 故递推公式为 an 1 3 2(an 3) ,令 bn an 3，则 b1 a1 3 4 ,且 bn 1 an 1 3 2 . bn an 3 所 以 bn 是 以 b1 4为首项，2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 则 bn 4 2n 1 2n 1 , 所 以 an 2n 1 3 . 变式 :（ 2006，重庆 ,文 ,14） 在数列 a n 中，若 a1 1, an 1 2an 3(n 1) ，则该数列的通项 a _______________ n （key: an 2n 1 3） 变式 :
